欧拉函数:φ(n)\varphi (n)φ(n) 小于等于n的数中与n互质的数的个数
φ(1)=1\varphi (1)=1φ(1)=1(小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身)。
若n是质数p的k次幂, φ(n)=φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)pk−1\varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}φ(n)=φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)pk−1,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
若 p 是质数 φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1φ(p)=p−1
欧拉函数是积性函数,即是说若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)φ(mn)=φ(m)φ(n)。
若n=p1k1p2k2⋯prkrn=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}n=p1k1p2k2⋯prkr
则 φ(n)=n∏i=1r(1−1pi)\varphi (n)=n\prod _{i=1}^r(1-{\frac {1}{p_i}})φ(n)=n∏i=1r(1−pi1)。
所以,能通过O(n\sqrt nn )的时间,求出φ(n)\varphi (n)φ(n)
template<class T>
T euler(T n){
T res=n;
for(int i=2;i*i<=n;++i){//任何数最多只有一个大于根号n质因子。
if(n%i==0){
res-=res/i;
while(n%i==0)n/=i;//将因子i全部除去,防止合数被筛
}
}
if(n>1)res-=res/n;//若有大于根号n的质因子
return res;
}
线性筛欧拉函数:
- φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1φ(p)=p−1
- φ(i×p)=p×φ(i),(imod  p=0)\varphi(i\times p)=p\times\varphi (i) ,(i\mod p = 0)φ(i×p)=p×φ(i),(imodp=0)
- φ(i×p)=φ(p)×φ(i)=(p−1)×φ(i),(imod  p≠0)\varphi(i\times p)=\varphi(p)\times\varphi (i)=(p-1)\times \varphi(i), (i\mod p\neq 0)φ(i×p)=φ(p)×φ(i)=(p−1)×φ(i),(imodp̸=0)
const int MAXN=3e6+8;
int phi[MAXN];
int prime[MAXN],cnt;
bool nprime[MAXN];
void getphi(){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<MAXN;++i){
if(!nprime[i]){
prime[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;//素数的phi值等于p-1
}
for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<MAXN;++j){
nprime[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0){
phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i];// i是p的倍数
break;
}
else phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);//i,p互质
}
}
}