Euler函数

最新推荐文章于 2021-01-29 15:23:53 发布

一条很咸的鱼

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分类专栏：数学

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欧拉函数φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的数量。对于质数的幂，φ(n)可以用公式计算；若m, n互质，则φ(mn)=φ(m)φ(n)。可通过线性筛法在O(n)时间内求解φ(n)。" 122794945,10966956,旧主机变身个人服务器：Ubuntu20.04安装与优化指南,"['服务器', 'Ubuntu', 'Linux', '系统优化', 'SSH']

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欧拉函数: $φ(n)\varphi (n)$ 小于等于n的数中与n互质的数的个数

$φ(1)=1\varphi (1)=1$ （小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。

若n是质数p的k次幂， $φ(n)=φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)pk−1\varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$ ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

若 p 是质数 $φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1$

欧拉函数是积性函数，即是说若m,n互质， $φ(mn)=φ(m)φ(n)\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)$ 。

若 $n=p1k1p2k2⋯prkrn=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}$

则 $φ(n)=n∏i=1r(1−1pi)\varphi (n)=n\prod _{i=1}^r(1-{\frac {1}{p_i}})$ 。

所以，能通过O( $n\sqrt n$ )的时间，求出 $φ(n)\varphi (n)$

template<class T>
T euler(T n){
    T res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;++i){//任何数最多只有一个大于根号n质因子。
        if(n%i==0){
            res-=res/i;
            while(n%i==0)n/=i;//将因子i全部除去，防止合数被筛
        }
    }
    if(n>1)res-=res/n;//若有大于根号n的质因子
    return res;
}

线性筛欧拉函数：

$φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1$
$φ(i×p)=p×φ(i),(imod  p=0)\varphi(i\times p)=p\times\varphi (i) ,(i\mod p = 0)$
$φ(i×p)=φ(p)×φ(i)=(p−1)×φ(i),(imod  p≠0）\varphi(i\times p)=\varphi(p)\times\varphi (i)=(p-1)\times \varphi(i), (i\mod p\neq 0）$

const int MAXN=3e6+8;
int phi[MAXN];
int prime[MAXN],cnt;
bool nprime[MAXN];
void getphi(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;++i){
        if(!nprime[i]){
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;//素数的phi值等于p-1
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<MAXN;++j){
            nprime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i];// i是p的倍数
                break;
            }
            else phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);//i，p互质
        }
    }
}