线性筛

- 用欧拉筛法线性筛素数

        \ \ \ \ \ \,      我们知道，若$x$为素数的话，那么必然若有任意一个不为$1$的数$a$，$(a\cdot x)$不是素数，打上标记。

      &ThinSpace; \ \ \ \ \ \,      并且必然有$a<a\cdot x$，$x<a\cdot x$，所以我们不断枚举$a$，在之前若是没有被打上标记，那么$a$就是素数。再不断枚举之前筛出来的素数$x$，对范围$[a,n]$中的$(a\cdot x)$打上标记。

      &ThinSpace; \ \ \ \ \ \,      若是当前$a$已经是某一个$x$的倍数，那么我们便可不必向后枚举$x$了，因为后面的$(a\cdot x)$一定被打过标记了，这样子可以保证每一个数最多被打过一次标记，复杂度严格$O(n)$。

//prime[0]为素数个数。
bool used[N];
long long prime[N];
long long n,q;
void Get_Prime(long long n){
	used[1]=1;
	for(long long i=2;i<=n;i++){
		if(!used[i])prime[++prime[0]]=i;
		for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++){
			used[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
		} 
	}
}

- 用欧拉筛法线性筛欧拉函数$\phi$，莫比乌斯函数$\mu$

• 筛欧拉函数$\phi$

      &ThinSpace; \ \ \ \ \ \,      根据欧拉函数$\phi$的3条性质:

$1$.若$x$为素数，$\phi (x)=x-1$;

$2$.若$x\%p=0$，$\phi (x\cdot p)=\phi (x)\cdot p$;

$3$.若$x\%p̸=0$，且$p$为素数，$\phi (x\cdot p)=\phi (x)\cdot (p-1)$;

      &ThinSpace; \ \ \ \ \ \,      稍微改动一下线性筛素数就好了。

bool vis[N];
int prim[N],phi[N];
void Get_Phi(int n){
  phi[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]){phi[i]=i-1;prim[++prim[0]]=i;}
    for(int j=1;j<=prim[0]&&i*prim[j]<=n;j++){
      vis[i*prim[j]]=1;
      if(i%prim[j]==0){phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];break;}
      phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);
    }
  }
}

• 筛莫比乌斯函数$\mu$

      &ThinSpace; \ \ \ \ \ \,      根据性质，若$x$为素数，$\mu (x)=-1$；对于任意数$a$，存在$\mu (a\cdot x)=-\mu (a)$。

      &ThinSpace; \ \ \ \ \ \,      再稍微改动一下线性筛素数就好了。

bool vis[N];
int prim[N],mu[N];
void Get_Mu(int n){
  mu[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]){mu[i]=-1;prim[++prim[0]]=i;}
    for(int j=1;j<=prim[0]&&i*prim[j]<=n;j++){
      vis[i*prim[j]]=1;
      if(i%prim[j]==0)break;
      mu[i*prim[j]]=-mu[i];
    }
  }
}

- 对于任意积性函数$f$线性筛

      &ThinSpace; \ \ \ \ \ \,      对于任意积性函数$f$，我们如何线性筛。

• 如果$p$是素数：$f(p)=F_1(p)$

• 如果$p$是素数，$i\%p̸=0$：$f(pi)=f(i)\times F_2(p)$

• 如果$p$是素数，$i\%p=0$：

  我们把 $pi$ 分解成 $p^{c}x$ ,可以保证 $p^c$ 与 $x$互质，那么有：$f(pi)=f(p^{c}x)=f(x)\ast F_3(p,c)$

      &ThinSpace; \ \ \ \ \ \,      其中，函数$F_1$,$F_2$,$F_3$需要情况制定，模板如下：

bool vis[N];
int pri[N],cnt[N],power[N];
int prime[N],f[N];
void Get_Shai(int n){
	f[1]=1;
	for(long long i=1;i<=n;i++)power[i]=1;
  for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]){
			cnt[i]=1;pri[i]=i;power[i]=i;
			prime[++prime[0]]=i;
			f[i]=F1(i);
		}
    for(int j=1,v,pc;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++){
    	v=i*prime[j];
      vis[v]=1;
      if(i%prime[j]==0){
				cnt[v]=cnt[i]+1;pri[v]=pri[i];power[v]=power[i]*pri[i];
				f[v]=f[v/power[v]]*F3(pri[v],cnt[v]);
				break;
			}
			cnt[v]=1;pri[v]=prime[j];power[v]=prime[j];
      f[v]=f[i]*F2(prime[j]);
    }
  }
}

• 模板题：T34163 【模板】线性筛

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff;
const double eps=1e-10;
const double pi=acos(-1.0);
//char buf[1<<15],*S=buf,*T=buf;
//char getch(){return S==T&&(T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),S==T)?0:*S++;}
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch;ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=0;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);ch=getchar();}
	if(f)return x;else return -x;
}
const int N=1e7+10;
int Sig(int a){
	int ret=0;
	for(int i=1;i<=a;i++)if(a%i==0)ret++;
	return ret;
}
bool vis[N];
int pri[N],cnt[N],power[N];
int phi[N],mu[N],prime[N],sigma0[N],sigma1[N],inv[N];
void Get_Shai(int n){
	phi[1]=mu[1]=sigma0[1]=sigma1[1]=inv[1]=power[1]=1;
	for(long long i=2;i<=n;i++)
  inv[i]=(n-n/i)*inv[n%i]%n,power[i]=1;
  
  for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]){
			cnt[i]=1;pri[i]=i;power[i]=i;
			
			prime[++prime[0]]=i;
			phi[i]=i-1;
			mu[i]=-1;
			sigma0[i]=2;
			sigma1[i]=i+1;
		}
    for(int j=1,v,pc;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++){
    	v=i*prime[j];
      vis[v]=1;
      if(i%prime[j]==0){
				cnt[v]=cnt[i]+1;pri[v]=pri[i];power[v]=power[i]*pri[i];
				
				phi[v]   =phi[i]*prime[j];
				sigma0[v]=sigma0[v/power[v]]*(cnt[v]+1);
				sigma1[v]=sigma1[v/power[v]]*(power[v]*pri[v]-1)/(pri[v]-1);
				break;
			}
			cnt[v]=1;pri[v]=prime[j];power[v]=prime[j];
			
			phi[v]   =phi[i]*(prime[j]-1);
			mu[v]    =-mu[i];
      sigma0[v]=sigma0[i]*2;
      sigma1[v]=sigma1[i]*(prime[j]+1);
    }
  }
}
int main()
{
	int n=read();
	Get_Shai(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",phi[i]);printf("\n");
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",mu[i]);printf("\n");
	printf("%d ",prime[0]);for(int i=1;i<=prime[0];i++)printf("%d ",prime[i]);printf("\n");
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",sigma0[i]);printf("\n");
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",sigma1[i]);printf("\n");
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",inv[i]);printf("\n");
	return 0;
}