基于最小二乘法蒙特卡洛模拟(LSM)可转债定价原理及算法演示

原创

已于 2025-09-26 10:51:11 修改 · 1.2k 阅读

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#python #定价 #可转债 #LSM #最小二乘法蒙特卡罗模拟

于 2025-09-18 15:45:34 首次发布

概要

可转换债券是一种极其复杂的信用衍生产品，除了一般债权外，它还包含着多个期权，包括转股权、回售权、赎回权和发行人的转股价格修正权，条款的复杂性决定了可转债定价的复杂性。

可转债定价方法较为普遍的是依据B-S期权定价公式和二叉树模型，在对内嵌期权定价的基础上，加上纯债的价值，从而对可转债进行定价。但是可转债附加的期权不仅仅是一个美式期权，而是附加了赎回、回售和下修等特殊条款，以上定价方法仅可看做对可转债价值的近似估计，难以对其中的条款博弈进行定价。由于美式期权是路径依赖的，一般常用的二叉树、有限差分等方法不能很好进行刻画，投资者持有美式期权的最优执行策略是基于其对未来收益的期望。

蒙特卡罗模拟是一种基于随机数生成和统计计算的数值方法，通过模拟大量标的资产价格路径来计算期权理论价格‌，特别适用于路径依赖型期权（如亚式期权、障碍期权）及多因素复杂衍生品定价。蒙特卡洛模拟很强大，对于很多类型的期权定价都有效，但是一般的蒙特卡洛模拟却无法定价美式期权，原因在于美式期权需要在各个时点比较内在价值和继续持有的价值，然而蒙特卡洛模拟仅能模拟资产价格路径，想要计算继续持有价值就得继续在那个节点上继续模拟，这样就会陷入无限模拟循环中。（ps:美式期权可以在到期前的任何时间行权，因此，在每条模拟路径上的每个时间点都需要计算立即行权价值和继续持有价值。但是继续持有价值依赖于未来所有可能的决策路径。即时点 $t$ 需要模拟 $t+1$ 以及其后所有时点股价走势，而在 $t+1$ 时点又需要重复 $t$ 时点的需求，这将带来计算爆炸。），而LSM（Least-Squares Monre Carlo）方法一定程度上解决了以上问题。

本文以简单示例的方式，逐步说明LSM的计算过程。而在实际操作中，由于转债条款设计差异，造成程序在适配不同转债时，需要不断的调整参数，如“连续20个交易日”或者“有15个交易日”，相同条款观察时间窗口也存在不一致。另外，从实用的角度，转债收到的票息和折现率（用单一无风险利率还是考虑利率期限结构）的选择都是需要进一步优化的地方。

整体架构流程

LSM方法的基本思路是基于蒙特卡洛模拟的价格路径，使用每一期的资产价格和相应未来现金流量的现值做最小二乘估计，得到基于标的价格的继续持有的条件期望价值，通过比较继续持有和内在价值大小，得到所有模拟路径中提前行权标准，实现对美式期权的定价。所以LSM方法首先是模拟股票路径，再利用最小二乘法在每个节点上估计未来收益的期望。
具体说，就是利用之前已实现的收益作回归，建立期望的方程，利用此方程可以精确计算当前的收益期望，如此循环，就能得到每个执行日的收益期望。这样就能得到每条股票路径上最优执行策略的全景图。

技术名词解释

转股价格：即行权价，初始转股价一般为不低于债券募集说明书公告前二十个交易日均价和前一交易日均价，债券存续期间转股价将根据公司发生派送股票股利、转增股本、增发新股或配股、派送现金股利的情况进行修正。亦会根据下修条款进行修订。

转股期限：债券持有人行使转股权的时间区间，一般在发行后的6个月或12个月至期满日。

转股价下修：可转债存续期间，当公司股票在任意连续【30】个交易日中至少有【15】个交易日（或连续【15】个交易日）的收盘价格低于当期转股价格的【80%】时，经股东大会表决下修。下修后的转股价>=MAX(前20个交易日公司股票交易均价, 前一交易日公司股票交易均价)。

有条件赎回：在转股期限内，股票在任何连续【30】个交易日中至少【15】个交易日的收盘价格不低于当期转股价格的【130%】。公司可按照面额+当期应计利息赎回转债。公司通过赎回，迫使投资人完成转股。

有条件回售：可转债最后两个计息年度，如果公司股票在任何连续【30】个交易日的收盘价格低于当期转股价格的【70%】时，可转债持有人有权将其持有的全部或部分可转债按债券面值加上当期应计利息的价格回售给公司。有条件回售条款可以迫使公司下修转股价，所以在本定价中假设回售不会发生。PS：实际情况可能更复杂，如果公司现金充裕，则可能在债券存续前几年下修，保持债券存续，最后几年不下修，提前结束债券。或者根本不设置有条件回售条款，如一些银行或证券公司发行的可转债。

到期赎回：债券到期，公司以面额的【108%】（已包括应计利息，一般会有利息补偿）赎回未转股转债。

其中，有条件赎回与转股行权、有条件回售与转股价下修可以认为是成对的条款，即在触发有条件赎回条款时，此时往往转股价值大于赎回价格，有条件赎回条款仅仅是迫使投资者转股的条款，投资者也往往选择转股，因此可以认为赎回不会发生；同样，上市公司发行可转债的目的是为了进行股权融资，因此可以认为在触发有条件回售条款时，上市公司往往下修行权价，有条件回售不会发生，而仅仅触发转股价下修条款时，发行人并不会下修行权价。

以上是可转债条款博弈的核心条款，通过LSM模型，可以根据债券实际条款，对核心代码进行修改和增减。

技术细节

第一步：根据历史数据确定标的正股的历史年波动率σ；

第二步：利用Monte Carlo模拟，生成正股未来走势的模拟；

$S_{_{t+dt}}=S_{t}\cdot exp\left ( \left ( r -\frac{\\\sigma ^{2} }{2} \right )\ dt+\sigma \sqrt{dt} \cdot z \right )$

其中： $z \sim N(0, 1)$ 为服从标准正态分布的随机变量。

$dt$ 为时间步长，如交易日对应 $dt=1/252$

for column in range(N_step-1):
     # 计算漂移项
     drift = (r - 0.5 * sigma ** 2) * dt
     # 计算波动项
     volatility = sigma * np.sqrt(dt)
     # 生成随机数
     random_numbers = np.random.standard_normal(N_rep)
     # 计算下一期股价
     stockprice[:, column+1] = stockprice[:, column] * np.exp(drift + volatility * random_numbers)

第三步：在模拟的 $N$ 条路径中寻找满足回售条件的，因为已假设回售不会发生，所在在这些路径中，调整转股价格使可转债价值大于回售价值。