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最新推荐文章于 2022-07-19 08:39:22 发布

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本文深入探讨了多种数学算法，包括最大公约数、逆元、快速幂、卡塔兰数、矩阵快速幂、斯特灵近似、质数判定、欧拉筛法、欧拉函数、分解质因数、二元一次不定方程解法以及排列组合问题，提供了丰富的代码实例。

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gcd

//欧几里得，又叫做最大公约数
int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int gcd(int big, int small)
{
if (small > big) swap(big, small);
int temp;
while (small != 0){ // 辗转相除法
if (small > big) swap(big, small);
temp = big % small;
big = small;
small = temp;
}
return(big);
}

逆元

//逆元
gcd(a,b)=a*x+b*y;
gcd(b,a%b,)
ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(b==0){
x=1,y=0;
return a;
}
ll d=extgcd(b,a%b,x,y);
ll t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return d;
}
ll inv(ll a,ll mod)
{
ll x,y;
extgcd(a,mod,x,y);
return (mod+x%mod)%mod;
}

快速幂

ll fast_pow(ll a,ll b,ll mod)
{
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
//快速幂

卡塔兰数

#define ll long long
ll Catelan[N];
//用逆元求解
ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
ll d = a;
if(b != 0){
d = extgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a / b) * x;
}else {
x = 1;
y = 0;
}
return d;
}
void pre()
{
int i;
ll x, y;
Catelan[0] = 1, Catelan[1] = 1;
for(i = 2; i < N-5; i++)
{
Catelan[i] = Catelan[i-1]*(4*i-2) % mod;
extgcd(i+1, mod, x, y);
Catelan[i] = (Catelan[i]*((x+mod)%mod)) % mod;
}
}

矩阵快速幂求逆元

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 100
#define LL long long
#define MOD 10000
using namespace std;
struct Matrix
{
LL a[MAXN][MAXN];
int r, c;//行数列数
};
Matrix ori, res;//初始矩阵和结果矩阵
void init()//初始化矩阵
{
memset(res.a, 0, sizeof(res.a));
res.r = 2; res.c = 2;
for(int i = 1; i <= 2; i++)//构造单位矩阵
res.a[i][i] = 1;
ori.r = 2; ori.c = 2;
ori.a[1][1] = ori.a[1][2] = ori.a[2][1] = 1;
ori.a[2][2] = 0;
}
Matrix multi(Matrix x, Matrix y)
{
Matrix z;
memset(z.a, 0, sizeof(z.a));
z.r = x.r, z.c = y.c;//新矩阵行数等于x矩阵的行数列数等于y矩阵的列数
for(int i = 1; i <= x.r; i++)//x矩阵的行数
{
for(int k = 1; k <= x.c; k++)//矩阵x的列数等于矩阵y的行数即x.c = y.r
{
if(x.a[i][k] == 0) continue;//优化
for(int j = 1; j<= y.c; j++)//y矩阵的列数
z.a[i][j] = (z.a[i][j] + (x.a[i][k] * y.a[k][j]) % MOD) % MOD;
}
}
return z;
}
void Matrix_mod(int n)
{
while(n)//N次幂
{
if(n & 1)
res = multi(ori, res);
ori = multi(ori, ori);
n >>= 1;
}
printf("%lld\n", res.a[1][2] % MOD);
}
int main()
{
int N;
while(scanf("%d", &N), N!=-1)
{
init();//初始化单位矩阵
Matrix_mod(N);//矩阵快速幂
}
return 0;
}

斯特灵近似

ll steling(ll n)
{
return ll(log10(sqrt(4*acos(0.0)*n))+n*log10(n/exp(1.0)))+1;
}

原文：https://blog.youkuaiyun.com/jamence/article/details/81660163

判定质数

for(int i = 2 ; i * i <= n ; ++ｉ)　｛
if( n % i == 0 )
{
flag = 1 ;
breke;
}
｝

欧拉筛法
求 n 以内的所有质数

for(int i = 2 ; i <= n ; ++ i ) {
if( ! vis[i] )
{
cnt ++ ;
p[cnt] = i ;
}
for( int j = 1 ; j <= cnt && i * p[j] <= n ; ++ j )
{
vis[p[j] * i ] = 1 ;
if( i % p[j] == 0 ) break;
}
}

欧拉函数

方法一

scanf("%lld", &n );
if( n == 0 )
return 0;
long long m = n ;
for(int i = 2 ; i * i <= m ; ++ i )//分解为质数乘积
{
if( m % i == 0 )
{
cnt ++ ;
p[cnt] = i ;
while( m % i == 0 )
{
m = m / i ;
w[cnt] ++ ;
}
}
}
if( m != 1 )
{
cnt ++ ;
p[cnt] = m ;
w[cnt] = 1 ;
}
long long ans = 1 ;
for(int i = 1 ; i <= cnt ; ++ i )
{
ans = ans * (p[i] - 1 ) ;
for(int j = 1 ; j < w[i] ; j ++ )
{
ans = ans *p[i] ;
}
}

方法二

ph[1] = 1 ;//结合欧式筛法，可以求出 n 以内每一个数的欧拉函数值
scanf("%d", &n );
for(int i = 2 ; i <= n ; ++ i ) {
if(!vis[i]) {
cnt ++ ;
pr[cnt] = i ;
ph[i] = i - 1 ;
}
for(int j = 1 ; j <= cnt && i * pr[j] <= n ; ++ j ) {
vis[ i * pr[j] ] = 1 ;
if( i % pr[j] == 0 ) {
ph[ pr[j] * i ] = ph[i] * pr[j] ;
break;
}
else
ph [ pr[j] * i] = ph[i] * (pr[j] - 1 );
}
}

原文：https://blog.youkuaiyun.com/qq_44013342/article/details/88023526

分解质因数

（任何一个大于1的自然数，都能分解为若干个质数的幂的乘积，即 $n=p_{1}^{w_{1}}*p_{2}^{w^{2}}*......*p_{m}^{w_{m}}$ ）

void get(int n)
{
for(int i = 2;i * i <= n;i++)
if (n % i == 0){
p[++m] = i;
while(n % i == 0){
w[m]++;
n /= i;
}
}
if (n != 1){
p[++m] = n;
w[m] = 1;
}
}

欧拉函数
求n以内与n互质的自然数的个数。先求出如上所述的“p”与“w”，再用以下公式：

$sum=n*(1-\tfrac{1}{p_{1}})*(1-\tfrac{1}{p_{2}})*......*(1-\tfrac{1}{p_{m}})$

或者

$sum=p_{1}^{w_{1}-1}*(p_{1}-1)*p_{2}^{w_{2}-1}*(p_{2}-1)*......*p_{m}^{w_{m}-1}*(p_{m}-1)$

求二元一次不定方程的整数解
二元一次不定方程形如：ax+by=c(a、b、c是已知参数)，当c是gcd（a，b）的倍数时（gcd（a，b）表a和b的最大公因数），才有整数解。可以用某种算法(即扩展欧几里得算法)求出不定方程ax+by=gcd（a，b）的解（此处x、y不等于上述x、y，因为在算法中把c看作了gcd（a，b），所以解出来x、y缩小了c/gcd（a，b））。

最后求整数解的通解，用如下公式：

$x'=x+b/gcd(a,b)*t;$

$y'=y-a/gcd(a,b)*t;$

其中t为任意整数

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
int d,x,y;
void Sgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){ //d、x、y要放在全局
if (b == 0){
x = 1;
y = 0;
d = a;
return；
}
else{
Sgcd(b,a % b,d,y,x);
y -= a / b * x;
}
}
int main()
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
Sgcd(a,b,d,x,y);
int m = c / d;
printf("%d %d\n",x * m,y * m);//特殊解
printf("%d %d\n",x * m + b / d,y * m - a / d);//其中一个通解，t=1；
return 0;
}

排列组合

一、基本公式

（特殊的，0！=1）（以下n>=m）

排列： $A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}$

表示从n个数中取出m个数来排列的方案总数，忽略顺序。例如：m=2时，（1,2）是一种，（2,1）是另一种。

组合: $C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=C_{n-1}^{m-1}*n/m$

表示从n个数中取出m个数来组合的方案总数，限制顺序。可以理解为从n个数中取出m个数有多少种取法。例如：m=2时，（1，2）和（2,1）是同一种。m=3时，（1,2,3）和（1,3,2）以及（2,1,3）等是同一种。

二、经典例题

1、将n个相同的球放进m个不同的盒子里。球要放完，盒子不能为空，问有多少种放法。

解：题目等价于有n个球，要在两个球之间插板子（两个球之间最多能插一个），将球分为m个部分。n个球，有n-1个空隙可以插；m个部分，只用m-1个板子。

所以又可以等价于有n-1个板子，只需要取m-1个板子，问有多少种取法。因为反正都是把球分为m个部分，所以不同的板子得到的效果是一样的，所以可以理解为是同一种取法。这就是组合。答案： $C_{n-1}^{m-1}$

2、将n个相同的球放进m个不同的盒子里。球要放完，盒子可以为空，问有多少种放法。

解：假设盒子不可以为空，放在此题种就等价于你已经放了m个球，还有n个球。所以此题等价于有n+m个球，放在m个盒子里，球要放完，盒子不能为空，这就是第一题了。答案： $C_{n+m-1}^{m-1}$

3.将n个不同的球放在m个相同的盒子里。要求每个盒子里球的数量一样，球要放完（数据保证m是n的因子），问有多少种方法。

解：设n/m=x，即每个盒子里要放x个球。放球时，第一步：在n个球中取出x个球放在一个空盒里，第二步又在剩下的n-x个球中取出x个球放在一个空盒里......直至放完。所以第一步的方法总数是： $C_{n}^{x}$ ，到第二步的方法总数是： $C_{n}^{x}*C_{n-x}^{x}$ ，一共m步，以此类推。但是有这种情况：已经以某一种方案按要求将所有球放进m个盒子里了，现在却只是将A盒里的球放进B盒里，将B盒里原来的球放进A盒里。因为盒子是一样的，所以这是同一种方法。但计算时却以为是另一种方法。而这个等价于：已经以某一种方案按要求将所有球放进m个盒子里了，现在却只是将盒子调换位置，却认为是不同的方法。调换位置的方法有 $A_{m}^{m}$ 个。所以最后还要减去 $A_{m}^{m}$ 。答案： $C_{n}^{x}*C_{n-x}^{x}*......*C_{x}^{x}-A_{m}^{m}$