浅谈矩阵加速算法

最新推荐文章于 2025-06-07 03:16:14 发布

偶耶XJX

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分类专栏：信息竞赛解题文章标签： C++

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本文介绍了如何使用矩阵加速算法高效解决复杂数列问题，如Fibonacci数列和TR数列等。通过矩阵快速幂运算，可在大规模数据下快速求解。此外，还拓展讲解了广义矩阵乘法的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前言

（看此文章请先了解一下什么是矩阵）

矩阵加速是个很神奇的算法，它可以在极端数据下、级短时间内解决复杂问题，而且还很简单。我们从例题入手：

例题一：Fibonacci第n项

Fibonacci数列满足 $f(1)=f(2)=1,f(i)=f(i-1)+f(i-2),i>2$ ，求 $f(n)$ 。（n<=1e9）

这个数据很大，不能常规地用递推求解。那我们不拐弯路，直接开始公式推导吧：

因为 $f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}$ （关键递推式），所以可以把 $f_{n-1}*1+f_{n-2}*1$ 放入一个矩阵乘法（n*m和m*q的矩阵）中。因为是2项乘2项，所以m=2，为了达到有规律的累乘，得保证结果也为n*2的矩阵，所以q=2。因为暂时没有其他要求的数，所以n=1。矩阵为，相乘后，（1,1）的位置上就是 $f_{n}$ 。而要求到 $f_{n+1}$ ，则左矩阵得为 $\begin{bmatrix} f_{n} &f_{n-1} \end{bmatrix}$ ，所以（2,2）位置要通过 $f_{n-1}$ 、 $f_{n-2}$ 和另两个数的“加乘”运算得到 $f_{n-1}$ 。显然， $f_{n-1}=f_{n-1}*1+f_{n-2}*0$ ，所以整个乘法为 $\begin{bmatrix} f_{n-1} &f_{n-2} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ，可以得到 $\begin{bmatrix} f_{n} & f_{n-1} \end{bmatrix}$ ，再乘一个 $\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 又得到 $\begin{bmatrix} f_{n+1} & f_{n} \end{bmatrix}$ ，以此类推。所以 $\begin{bmatrix} f_{2} &f_{1} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-2}=\begin{bmatrix} f_{n} & f_{n-1} \end{bmatrix}$ ，f2、f1已知，用一个矩阵快速幂就出来了。

（代码自己水）

例题二：TR的数列

TR非常喜欢数学，经常一个人拿出草稿纸研究奇奇怪怪的数学问题，最近，他突然对数列产生了兴趣，他找到一个数列，类似于斐波拉契，即：Tn=1*f1+2*f2+3*f3+……+n*fn (fn为斐波拉契的第n项值)，现在TR想请你帮忙求Tn%m的值（1≤n,m≤2^31-1）。

设 $V_{n}=n*f_{n}$ ，则

$V_{n}=n*f_{n-1}+n*f_{n-2}$

$V_{n}=(n-1)*f_{n-1}+f_{n-1}+(n-2)*f_{n-2}+2*f_{n-2}$

$V_{n}=V_{n-2}+V_{n-1}+2*f_{n-2}+f_{n-1}$

所以 $T_{n}=T_{n-1}*1+V_{n-2}*1+V_{n-1}*1+f_{n-2}*2+f_{n-1}*1$ （关键递推式），左矩阵设置为 $\begin{bmatrix} T_{n-1} &V_{n-2} &V_{n-1} &f_{n-2} &f_{n-1} \end{bmatrix}$ ，然后推出

$V_{n-1}=T_{n-1}*0+V_{n-2}*0+V_{n-1}*1+f_{n-2}*0+f_{n-1}*0$

$V_{n}=T_{n-1}*0+V_{n-2}*1+V_{n-1}*1+f_{n-2}*2+f_{n-1}*1$

$f_{n-1}=T_{n-1}*0+V_{n-2}*0+V_{n-1}*0+f_{n-2}*0+f_{n-1}*1$

$f_{n}=T_{n-1}*0+V_{n-2}*0+V_{n-1}*0+f_{n-2}*1+f_{n-1}*1$

所以 $\begin{bmatrix} T_{n-1} &V_{n-2} &V_{n-1} &f_{n-2} &f_{n-1} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 &0 \\ 1 &0 &1 &0 &0 \\ 1 &1 &1 &0 &0 \\ 2 &0 &2 &0 &1 \\ 1 &0 &1 &1 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} T_{n} &V_{n-1} &V_{n} &f_{n-1} &f_{n} \end{bmatrix}$ 。

明白了吗？最后 $\begin{bmatrix} T_{2} &V_{1} &V_{2} &f_{1} &f_{2} \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 &0 \\ 1 &0 &1 &0 &0 \\ 1 &1 &1 &0 &0 \\ 2 &0 &2 &0 &1 \\ 1 &0 &1 &1 &1 \end{bmatrix}^{n-2} =\begin{bmatrix} T_{n} &V_{n-1} &V_{n} &f_{n-1} &f_{n} \end{bmatrix}$ ，还是用矩阵快速幂。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long n,mod;
struct matrix{
    int n,m;
    long long c[105][105];
    matrix(){memset(c,0,sizeof(c));}
    matrix operator*(const matrix&a){
        matrix r;r.n=n,r.m=a.m;
        for(int i=1;i<=r.n;i++)
            for(int j=1;j<=r.m;j++)
                for(int k=1;k<=m;k++)r.c[i][j]=(r.c[i][j]+c[i][k]*a.c[k][j])%mod;
        return r;
    }
}a,b;
matrix mpow(matrix a,long long b){
    matrix res;res.n=res.m=a.n;
    for(int i=1;i<=res.n;i++)res.c[i][i]=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1)res=res*a;
        a=a*a;
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&mod);
    if(n==1){
        printf("%lld",1%mod);
        putchar('\n');
        return 0;
    }
    a.n=1,a.m=5;
    a.c[1][1]=3,a.c[1][2]=a.c[1][4]=a.c[1][5]=1,a.c[1][3]=2;
    b.n=b.m=5;
    b.c[1][1]=1;
    b.c[2][1]=b.c[2][3]=b.c[3][1]=b.c[3][2]=b.c[3][3]=1;
    b.c[4][1]=b.c[4][3]=2,b.c[4][5]=1;
    b.c[5][1]=b.c[5][3]=b.c[5][4]=b.c[5][5]=1;
    a=a*mpow(b,n-2);
    printf("%lld",a.c[1][1]%mod);
    putchar('\n');
    return 0;
}

例题三：【山东省选】递归数列（版本2）