[AGC031D] A Sequence of Permutations——置换、结论-优快云博客

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本文探讨了排列与置换矩阵之间的关系，通过矩阵运算解析了一种序列操作问题。文章详细展示了如何利用矩阵转置和乘法性质，结合快速幂算法求解给定步数的序列变换。通过实例分析，揭示了序列变化的规律，并给出了C++代码实现，用于计算给定步数后的序列状态。

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[AGC031D] A Sequence of Permutations

题解

众所周知排列和一个置换矩阵是等价的，所以我们不妨把排列 $p, q$ 看成置换矩阵 $P, Q$ 。

首先可以从定义上得出 $f(P,Q)=P^TQ$ ，然后我们回顾一下基本公式（ $AA^T=A^TA=E,(AB)^T=B^TA^T$ ），开始手玩：
$a_1=P\\ a_2=Q\\ a_3=P^TQ\\ a_4=Q^T\,\,P^T\,\,Q\\ a_5=Q^TP\,\,Q^T\,\,P^TQ\\ a_6=Q^TP\,\,PQ^T\,\,P^TQ\\ a_7=Q^TPQ\,\,P\,\,Q^TP^TQ\\ a_8=Q^TPQP^T\,\,Q\,\,PQ^TP^TQ\\ a_9=Q^TPQP^T\,\,P^TQ\,\,PQ^TP^TQ\\ a_{10}=Q^TPQP^TQ^T\,\,P^T\,\,QPQ^TP^TQ\\ ...$ 可以发现式子的中间部分是 $P,Q,P^TQ,P^T,Q^T,PQ^T,P...$ 循环的，式子左右两边互为转置，而左边部分以 $+ 1, + 1, 0$ 规律变长，是 $Q^TPQP^TQ^TPQP^T...$ 循环的。

所以只需要判断一下中间部分，然后左右两边快速幂即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>//JZM yyds!!
#define ll long long
#define lll __int128
#define uns unsigned
#define fi first
#define se second
#define IF (it->fi)
#define IS (it->se)
#define END putchar('\n')
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define inline jzmyyds
using namespace std;
const int MAXN=114514;
const ll INF=1e18;
ll read(){
	ll x=0;bool f=1;char s=getchar();
	while((s<'0'||s>'9')&&s>0){if(s=='-')f^=1;s=getchar();}
	while(s>='0'&&s<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
	return f?x:-x;
}
int ptf[50],lpt;
void print(ll x,char c='\n'){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	ptf[lpt=1]=x%10;
	while(x>9)x/=10,ptf[++lpt]=x%10;
	while(lpt>0)putchar(ptf[lpt--]^48);
	if(c>0)putchar(c);
}

#define arr vector<int>
int n,k,m;
arr P,Q,A,B,C;
arr tr(const arr&x){
	arr res(n+1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)res[x[i]]=i;
	return res;
}
arr operator*(const arr&a,const arr&b){
	arr res(n+1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)res[i]=b[a[i]];
	return res;
}
arr ksm(arr a,int b){
	arr res(n+1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)res[i]=i;
	for(;b;b>>=1,a=a*a)if(b&1)res=res*a;
	return res;
}
int main()
{
	n=read(),k=read(),P.resize(n+1),Q.resize(n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)P[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)Q[i]=read();
	if(k%6==1)B=P;
	else if(k%6==2)B=Q;
	else if(k%6==3)B=tr(P)*Q;
	else if(k%6==4)B=tr(P);
	else if(k%6==5)B=tr(Q);
	else B=P*tr(Q);
	if(k<4)m=0;
	else m=k-3-(k-3)/3;
	A=ksm(tr(Q)*P*Q*tr(P),m>>2),m&=3;
	if(m>0)A=A*tr(Q);
	if(m>1)A=A*P;
	if(m>2)A=A*Q;
	C=A*B*tr(A);
	for(int i=1;i<=n;i++)print(C[i],i<n?' ':'\n');
	return 0;
}