算法导论（三）--分治法

分治法就是把一个大的问题分成若干个小的子问题，然后递归地解决小问题，最后再合并子问题的解。回顾一下归并排序，就是一个典型的分治法的例子：第一步把整个数组一分为二，第二步递归地对每个子数组排序，第三步合并两个有序数组。归并排序的复杂度T(n)=2T(n/2)+Θ(n)，可以用主定理的2解出，为Θ(nlogn)。

二分查找

二分查找是分治法一个简单的例子。从一个有序的数组中找出x，这个问题可以用这样的分治法：1. 把x与数组的中间元素比较，2. 如果x小于中间的数，那么x一定在数组左边，果x大于中间的数，那么x一定在数组右边，因此只在一个子数组中递归查找，3. 合并这一步没有任何计算量。复杂度T(n)=T(n/2)+Θ(1)，解出结果为Θ(logn)。
代码：

int bi_search(int a[],int p,int r,int x)
{
   
    int q=p+(r-p)/2;
    if(a[q]==x)
        return q;
    else if(a[q]>x)
        return bi_search(a, p, q,x);
    else
        return bi_search(a, q+1, r, x);
}

乘方问题

给定一个数x，和一个正整数n，求xⁿ。
朴素的解法就是把n个x相乘，即x·x·x…·x，乘n-1次，复杂度是Θ(n)。如果用分治法呢，可以在非线性时间内解决这个问题吗？
我们可以把xⁿ划分为两个x^n/2，即
$$x^n=\{\begin{array}{ll}{x}^{n/2}\cdot x^{n/2}& n为偶数\\ x^{n-1/2}\cdot x^{n-1/2}\cdot x& n为奇数\end{array}$$
T(n)=T(n/2)+Θ(1)=Θ(logn)

斐波那契数列

斐波那契数列的定义是：
$$F(n)=\{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}$$