300 最长递增子序列

题目描述

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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
提示：
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104

题目分析

这算是一个比较经典的问题了，很多其它问题都可以由它衍生出来，在此记录一下两种常见解法。

方法1 动态规划

设dp[i]表示以nums[i]结尾的最长的递增子序列的长度，则有递推公式
$$dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)ifnums[i]>nums[j]for0\le j<i$$
遍历过程中用ans记录出现过的最大值，最后返回ans即可。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int dp[nums.size()];
        int ans = 1;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
            dp[i] = 1;
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(nums[j] < nums[i]){
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

方法2 二分查找

我们用length[i]表示所有长度为i的递增子序列的最后一个元素最小值，可以证明length中的元素是严格递增的（反证法）。遍历nums，遍历到i时，如果nums[i]比当前length的最后一个元素还要大，就将这个元素加入length的后面，否则二分查找length中的值，替换掉严格小于nums[i]的最大元素。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int length[nums.size() + 1];
        memset(length, 0, sizeof(length));
        int ans = 1;
        length[1] = nums[0];
        for(int i = 1; i < nums.size(); i++){
            if(nums[i] > length[ans]){
                length[++ans] = nums[i];
            }
            else{
            	//另一种写法
                // int l = 1, r = ans;
                // while(l < r){
                //     int m = (l + r) >> 1;
                //     if(length[m] < nums[i]){
                //         l = m;
                //     }
                //     else{
                //         r = m;
                //     }
                //     if((length[l] < nums[i])&&(length[r] >= nums[i])&&(l == r - 1)){
                //         break;
                //     }
                // }
                // length[r] = nums[i];
                int l = 1, r = ans, loca = 0;
                while(l <= r){
                    int m = (l + r) >> 1;
                    if(length[m] < nums[i]){
                        loca = m;
                        l = m + 1;
                    }
                    else{
                        r = m - 1;
                    }
                }
                length[loca + 1] = nums[i];
            }
        }
        return ans;
    }
};

此题的延伸