剑指 Offer 60. n个骰子的点数

题目

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

概率论知识复习

样本点

随机试验可能出现的结果，这些结果称为样本点。

样本空间

样本点全体构成样本空间。

事件

定义为样本点的某个集合，称某事件发生，当且仅当它所包含的某一个样本点出现。
（例如投掷2个骰子，其点数和为3即为一个事件，包含两个样本点：（1,2）（2,1），当然，样本点本身也是一个事件）

古典概型

样本点有限个，互不相容，每个样本点的出现等可能。

解题思路

该问题是一个古典概型问题，例如当投掷3个骰子时，样本空间中有6的3次方个样本点，举例：（1,1,1）(1,1,2)(1,1,3)(1,1,4)(1,1,5)(1,1,6)(1,2,1)……，每个样本点出现的概率相同。（有限个，互不相容，等可能），因此是个古典概型问题。

事件A发生的概率

P（A） = 事件A中所包含样本点的个数/样本空间中所有样本点的总数

剑指offer上给的递推公式

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-6)

含义与解释：例如投掷3个骰子，出现13的样本点个数为=投掷两个骰子出现12的样本点个数+投掷两个骰子出现11的样本点个数+投掷两个骰子出现10的样本点个数+投掷两个骰子出现9的样本点个数+投掷两个骰子出现8的样本点个数+投掷两个骰子出现7的样本点个数

为什么会有如上递推公式成立？

将上述等式两端同时除以样本点总个数216得到：
P(投掷3个骰子和为13)=P(投掷一个骰子和为1)*P(投掷两个骰子和为12)+P(投掷一个骰子和为2)*P(投掷两个骰子和为11)+P(投掷一个骰子和为3)*P(投掷两个骰子和为10)+P(投掷一个骰子和为4)*P(投掷两个骰子和为9)+P(投掷一个骰子和为5)*P(投掷两个骰子和为8)+P(投掷一个骰子和为6)*P(投掷两个骰子和为7)
看到这里就觉得比较易于理解了（不然我真的困惑了好久）

因此便有了如下的递推公式：

n 表示骰子个数，j表示投掷完 n 枚骰子后的点数和，i表示第 n枚骰子会出现的六个点数。 dp[n][j]表示投n个骰子，出现的点数和为j的样本点的数量

class Solution {
public:
    vector<double> dicesProbability(int n) {
        vector<double> res;
        int dp[15][70];
		//vector<vector<int>> dp[15][70];
        //1.初始化dp数组
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=6;++i){
            dp[1][i] = 1;
        }
        //2.递推计算dp数组的值
        //dp[i][j]含义是i个骰子，点数和为j的次数
        for(int i=2;i<=n;++i){
            for(int j=i;j<=6*i;++j){
                for(int cur=1;cur<=6;++cur){
                    if(j-cur<=0) break;
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-cur];
                }
            }
        }
        
        //3.构建结果数组
        int all = pow(6,n);
        for(int i=n;i<=6*n;++i){
            res.push_back(dp[n][i]*1.0/all);
        }
        return res;
        
    }
};