D. Factorial Divisibility（数论/贪心/计数）

最新推荐文章于 2022-11-08 23:35:15 发布

对方正在debug

最新推荐文章于 2022-11-08 23:35:15 发布

阅读量711

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： Codeforces 文章标签：算法贪心算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43918473/article/details/127503690

Codeforces 专栏收录该内容

228 篇文章

订阅专栏

博客围绕给定n个数a1,a2,…,an和数x，判断a1!+a2!+…+an!是否能被x!整除的问题展开。先分析思路，关注ai<x的情况，统计1到x - 1的个数并进行操作，证明相关不等式，最后得出判断条件。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

题意

给定n个数a1,a2,…,an和数x
问a1!+a2!+…+an!是否可以被x!整除

其中k!=k*(k-1)*…*1

思路

对于ai>=x，显然ai!能被x!整除，我们关注ai<x的情况。

统计1到x-1的个数。
从小到大遍历1到x-1，对于i<x，如果count(i)>=i+1，则令count(i)-1,count(i+1)+1。

通过上述操作，有count(i)<=i, 1<=i<x。

我们来证明count(1)*1!+count(2)2!+…count(x-1)(x-1)! < x!
参考

因为k*k!=(k+1-1)*k=(k+1)! - k!
count(i)<=i, 1<=i<x

所以上述不等式，最大值为
11! + 22! + … (x-1)*x! = (2!-1!)+(3!-2!)+…(x!-(x-1)!)=x!-1<x!

因此，如果count(1),count(2),.count(x-1)不全为0，那么有count(1)*1!+count(2)2!+…count(x-1)(x-1)! < x!，此时a1!+a2!+…+an!不能被x!整除。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pcc pair<char, char>
#define pii pair<int, int>
#define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn = 500010;

int n, mp[maxn], x;
void solve() {
	scanf("%d%d", &n, &x);
	for (int i = 0, v; i < n; ++i) {
		scanf("%d", &v);
		++mp[v];
	}
	bool flag = true;
	for (int i = 1; i < x; ++i) {
		if (!mp[i]) {
			continue;
		}
		if (mp[i] % (i + 1) != 0) {
			flag = false;
			break;
		}
		mp[i+1] += mp[i] / (i + 1);
	}
	printf("%s\n", flag ? "Yes" : "No");
}
int main() {
	int t = 1;
//	scanf("%d", &t);
	int cas = 1;
	while (t--) {
//		printf("cas %d:\n", cas++);
		solve();	
	}
	
}