答网友富盛一道微分中值题目

原创于 2019-06-03 14:16:57 发布 · 150 阅读

CC 4.0 BY-SA版权

1.设 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 连续, $(0, 1)$ 可导,且 $f (0) = 0$ , $f (1) = 1$ .证明:在 $(0, 1)$ 内存在不同的 $λ\lambda$ , $μ\mu$ 使得 $f′(λ)(f′(μ)+1)=2f'(\lambda)(f'(\mu)+1)=2$ $P r o o f$
记 $F (x) = f (x) + 2 x - 1$ ,则 $F (0) = - 1$ , $F (1) = 2$ .故存在 $ξ∈(0,1)\xi \in(0,1)$ 使 $F(ξ)=0F(\xi)=0$ ,即 $f(ξ)=1−2ξf(\xi)=1-2\xi$ 令 $h (x) = f (x) + x$ .由 $L a g r a n g e$ 中值定理得 $f(ξ)+ξξ=h(ξ)−h(0)ξ−0=h′(μ)=f′(μ)+1μ∈(0,ξ)\frac{f(\xi)+\xi}{\xi}=\frac{h(\xi)-h(0)}{\xi-0}=h'(\mu)=f'(\mu)+1\qquad\mu\in(0,\xi)$ $f(ξ)+ξ−2ξ−1=h(ξ)−h(1)ξ−1=h′(λ)=f′(λ)+1λ∈(ξ,1)\frac{f(\xi)+\xi-2}{\xi-1}=\frac{h(\xi)-h(1)}{\xi-1}=h'(\lambda)=f'(\lambda)+1\qquad\lambda\in(\xi,1)$ 从而 $f′(λ)(f′(μ)+1)=f(ξ)−1ξ−1⋅f(ξ)+ξξ=−2ξξ−1⋅1−ξξ=2f'(\lambda)(f'(\mu)+1)=\frac{f(\xi)-1}{\xi-1}\cdot\frac{f(\xi)+\xi}{\xi}=\frac{-2\xi}{\xi-1}\cdot\frac{1-\xi}{\xi}=2$