数学Ⅰ基础复习（八）_极限的有理运算-优快云博客

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这篇博客主要介绍了极限计算的一些基本规则和应用。通过三个具体的例题，展示了如何利用极限的有理运算法则和洛必达法则解决复杂的极限问题，如消无穷因子、应用商的法则等，最终求解未知参数。解题过程中强调了极限存在的条件及其对分子、分母极限的影响。

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数学Ⅰ基础复习（7.22更新，复习第九天）

一、极限

有理运算法则

$常用结论：如果\lim\frac{f(x)}{g(x)}存在，\lim g(x)=0\Rightarrow\lim f(x)=0\\ 如果\lim\frac{f(x)}{g(x)}=A且\neq0，\lim f(x)=0\Rightarrow\lim g(x)=0\\$

例1:(2010,Ⅲ)
$如果\lim_{x\rightarrow0}[\frac{1}{x}-(\frac{1}{x}-a)e^x]=1,a=?\\ a.0\ b.1\ c.2\ d.3\\ 解：LHS=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-e^x}{x}+a=\lim_{x\rightarrow0}-1+a=1,a=2,选c$
例2:(2018,Ⅲ)
$\lim_{x\rightarrow+\infty}[(ax+b)e^\frac{1}{x}-x]=2,求a,b\\ 解：LHS=\lim_{x\rightarrow+\infty}be^\frac{1}{x}+\lim_{x\rightarrow+\infty}(axe^\frac{1}{x}-x)=b+\lim_{x\rightarrow+\infty}x(ae^\frac{1}{x}-1)\therefore a=1,\\上式=b+\lim_{x\rightarrow+\infty}x(e^\frac{1}{x}-1)=b+1=2\therefore b=1$
例3:(2004,Ⅲ)
$\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin x}{e^x-a}(\cos x-b)=5,a=?,b=?\\ 解：\lim_{x\rightarrow0}e^x-a=0,a=1\\ 原式=\lim_{x\rightarrow0}\cos x-b=1-b=5,b=-4$
例3:(1997,Ⅱ)
$\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}\\ 解1：洛必达可以，但比较复杂，是\frac{\infty}{\infty}型极限。可以先消无穷因子-x,再用商的法则\\ 原式=\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{\sin x}{x^2}}}=1\\ 解2：原式=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{\sqrt{x^2+\sin x}}+\frac{x}{\sqrt{x^2+\sin x}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+\sin x}}=2-1+0=1$