数学Ⅰ基础复习（三）

数学Ⅰ基础复习（7.16更新，复习第三天）

一、极限

基本概念：数列极限、函数极限、极限性质、存在准则、无穷小、无穷大

• 函数极限：

  1. 自变量趋于无穷大：

  $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$$

  ​ 定义：
  $$\forall \epsilon >0,\exists X>0,当x>X时，恒有|f(x)-A|<\epsilon$$

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$$

​ 定义：
$$\forall \epsilon >0,\exists X>0,当x<-X时，恒有|f(x)-A|<\epsilon$$
​
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$$
定义：
$$\forall \epsilon >0,\exists X>0,当|x|>X时，恒有|f(x)-A|<\epsilon$$
定理1：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A\iff \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$$
​ 例：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=$$
​
$$\begin{gathered} 解：不存在。 \\ \because 当x\to +\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=1 \\ 而当x\to -\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=-1 \\ \because \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\ne \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \\ \therefore \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}不存在 \end{gathered}$$
2.自变量趋于有限值：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$
定义：

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,当|x-x_0|<\delta 时，恒有|f(x)-A|<\epsilon$$

​ 注意：自变量趋于有限值的极限与该点是否有定义以及该点函数值无关。

  定理2：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\iff \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$$
​ 注意：需要考虑左右极限的三种情况：
$$\begin{gathered} 1.分段函数分界点极限 \\ !!!2.e(以及任意正整数{)}^{\infty }型极限：\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0 \\ !!!3.arctan\infty 型极限：\underset{x\to +\infty }{\lim }arctanx=\frac{\pi }{2},\underset{x\to -\infty }{\lim }arctanx=-\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$ {pi}
例：（1992,Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ)
$$\underset{x\to 1}{\lim }(\frac{x^2-1}{x-1}{)}^{e^{\frac{1}{x-1}}}=$$
解：属于上述2情况，需要考虑左右极限
$$\begin{gathered} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }(\frac{x^2-1}{x-1}{)}^{e^{\frac{1}{x-1}}}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{2}^0=1 \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }(\frac{x^2-1}{x-1}{)}^{e^{\frac{1}{x-1}}}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{2}^{\infty }=\infty \\ \therefore 极限不存在且不为\infty \end{gathered}$$