学习笔记：fibonacci

斐波那契数列（Fibonacci sequence）
       斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）

表达式： F[n]=F[n-1]+F[n-2] (n>3,F[1]=1,F[2]=1)

C语言输出fibonacci数列：
非递归实现：

#include<stdio.h>
int fib(int n)
{
 int a=1,b=1,c=1;
 for(int i=3;i<n;i++)
 {
  c=a+b;
  b=a;
  a=c;
 }
 return c;
}
int main()
{
 int n;
 scanf("%d",&n);
 printf("%d\n", fib(n));
 return 0;
}

递归实现：

#include<stdio.h>
int Dfib(int n)//函数重复调用，浪费空间
{
 if(n<=2)
 {
  return 1;
 }
 else
 {
  return Dfib(n-1)+Dfib(n-2);
 }
}
int main()
{
 int n;
 scanf("%d",&n);
 printf("%d\n", Dfib(n));
 return 0;
}

此代码存在问题：此代码的递归过程中，存在重复调用，浪费内存空间，增加了时间复杂度和空间复杂度。

递归实现的改进： 消除重复调用

#include<stdio.h>
int fibn(int n,int a,int b)//消除重复求解的过程
{
 if(n<=2)
 {
  return a;
 }
 else
 {
  return fibn(n-1,a+b,a);
 }
}
int Improve_Dfib(int n)
{
 int a=1,b=1;
 return fibn(n,a,b);//对循环过程进行改编成递归
}
int main()
{
 int n;
 scanf("%d",&n);
 printf("%d\n", Dfib(n));
 return 0;
}

fibonacci数列的应用问题

兔子繁殖问题
兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

C语言的实现

#include<stdio.h>
 int Caculate(int month ,int a,int b)
 {
  if(month<=2) return a;
  else
  {
   return Caculate(month-1 ,a+b,a);
  }
 }
int Rabbit(int const month)
{
 if(month<1 || month>12) return -1;
 else
 {
  int a=1,b=1;
  return Caculate(month,a,b);
 }
}
int main()
{
 int month;
 int sum=0;
 printf("请输入你要查询兔子数的月份：");
 scanf_s("%d",&month);
 sum=Rabbit(month);
 printf("第%d月兔子的数目%d对\n",month,sum);
 return 0;
}

C++的实现

#include<iostream>
using namespace std;
int Rabbit(int month)
{
 if(month<1 || month>12) return -1;
 if(month<=2) 
 {
  return 1;
 }
 else
 {
  return Rabbit(month-1)+Rabbit(month-2);
 }
}
int main()
{
 int month,sum=0;
 cout<<"请输入要查询兔子数目的月份：";
 cin>>month;
 sum=Rabbit(month);
 cout<<"第"<<month<<"月兔子有"<<sum<<"对"<<endl;
}

汉诺塔问题
一块板上有三根针 A、B、C。A 针上套有 64 个大小不等的圆盘，按照大的在下、小的在上的顺序排列，要把这 64 个圆盘从 A 针移动到 C 针上，每次只能移动一个圆盘，移动过程可以借助 B 针。但在任何时候，任何针上的圆盘都必须保持大盘在下，小盘在上。从键盘输入需移动的圆盘个数，给出移动的过程。

C语言实现：

/*
算法思想：当只移动一个圆盘时，直接将圆盘从 A 针移动到 C 针。若移动的圆盘为 n(n>1)，
则分成几步走：把 (n-1) 个圆盘从 A 针移动到 B 针（借助 C 针）；
A 针上的最后一个圆盘移动到 C 针；B 针上的 (n-1) 个圆盘移动到 C 针（借助 A 针）。
每做一遍，移动的圆盘少一个，逐次递减，最后当 n 为 1 时，完成整个移动过程。
*/
#include<stdio.h>
int move(char getone,int n,char putone)
{
 static int k;
 printf("第%d次：%d号盘子  #  %c----%c\n",k,n,getone,putone);
 if(k++%3==0)
 {
  printf("\n");
 }
 return 0;
}
int Hanoi(int n,char x,char y,char z)
{
 if(n==1)
 {
  move(x,1,z);
 }
 else
 {
  Hanoi(n-1,x,z,y);
  move(x,n,z);
  Hanoi(n-1,y,x,z);
 }
 return 0;
}
int main()
{
    int n;
    printf("Input the number of diskes：");
    scanf("%d",&n);
    printf("\n");
    Hanoi(n,'A','B','C');
    return 0;
}

青蛙跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

C语言实现

/*
算法思想：当有一个台阶时，只有一种跳法；当有两个台阶时，有两种跳法；当有n个台阶时，先跳一个台阶，剩下的为f(n-1)种跳法，先跳两个台阶，剩下的有f(n-2)种跳法，总共的跳法为：f(n-1)+f(n-2)种跳法。
*/
#include<stdio.h>
int Frog_jumps(int n)
{
 if(n<3) return n;
 else
 {
  return Frog_jumps(n-1)+Frog_jumps(n-2);
 }
}
int main()
{
 int n;//定义台阶数
 printf("请输入青蛙要跳的台阶数:");
 scanf_s("%d",&n);
 int num=Frog_jumps(n);
 printf("青蛙有%d种跳法\n",num);
 return 0;
}