GSL 系列 4 — 特殊函数 3 — 贝塞尔 (Bessel) 函数

最新推荐文章于 2025-05-09 12:31:08 发布

无聊就去玩一玩

最新推荐文章于 2025-05-09 12:31:08 发布

阅读量2.9k

点赞数 1

分类专栏： GSL 文章标签： c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43852511/article/details/105768453

版权

本文介绍了C++中使用GSL库计算贝塞尔函数的相关知识，包括第一类、第二类、修正及球贝塞尔函数的基本概念、微分方程、通解以及它们之间的关系。此外，还涉及了这些函数的计算方法和第一类贝塞尔函数的零点计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

文章目录

0 写在前面

对以下变量参见：GSL 系列 4 — 特殊函数 1 — 用法，结果类，模式

gsl_sf_result * result
gsl_mode_t mode
gsl_sf_result_e10 * result

1 头文件

若无特别说明，本篇代码均来自头文件 gsl_sf_bessel.h

2 贝塞尔 (Bessel) 函数

2.1 基本介绍¹

2.1.1 符号说明

$w^{\prime \prime} = \frac{d^{2} w}{d z^{2}},w^{\prime}=\frac{d w}{d z}$

$z$ 为复数自变量

$\nu$ 为复数常量

$n$ 为整数

2.1.2 贝塞尔函数

微分方程：
$z^{2} \frac{d^{2} w}{d z^{2}}+z \frac{d w}{d z}+\left(z^{2}-\nu^{2}\right) {w}=0$
通解构成：
第一类贝塞尔函数： $J_{\pm \nu}(z)$
第二类贝塞尔函数（韦伯函数）： $Y_{\nu}(z)$
第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）： $H_{\nu}^{(1)}(z)、H_{\nu}^{(2)}(z)$

关系式：
$J_{\nu}(z)=\left(\frac{1}{2} z\right)^{\nu} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(-\frac{1}{4} z^{2}\right)^{k}}{k ! \Gamma(\nu+k+1)}$
$Y_{\nu}(z)=\frac{J_{ {\nu}}(z) \cos ({\nu} \pi)-{J}_{-{\nu}}({z})}{\sin ({\nu} \pi)}$
$H_{\nu}^{(1)}(z) \doteq J_{\nu}(z)+i Y_{\nu}(z) =i \csc (\nu \pi)\left\{e^{-\nu \pi i} J_{\nu}(z)-J_{-\nu}(z)\right\}$