剑指offer60.n个骰子的点数（动态规划）

最新推荐文章于 2023-01-08 11:27:09 发布

疼痛文学小青年

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分类专栏：力扣题解

原文链接：https://leetcode-cn.com/problems/nge-tou-zi-de-dian-shu-lcof/solution/jian-zhi-offer-60-n-ge-tou-zi-de-dian-sh-z36d/

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本文介绍了一种算法，用于计算n个骰子投掷结果的点数之和的概率分布。通过递推公式，从一个骰子的情况逐步推广到多个骰子，最终实现了高效计算任意数量骰子的概率分布。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

示例 1:输入: 1 输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]
示例 2:输入: 2 输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

限制：1 <= n <= 11

解题思路：

给定n个骰子，可得：

每个骰子摇到1到6的概率相等，都为1/6
将每个骰子的点数看作独立情况，共有6^n种点数组合。例如，n=2时的点数组合为：(1,1),(1,2),⋯,(2,1),(2,2),⋯,(6,1),⋯,(6,6)
n个骰子点数和的范围为[n,6n]，数量为6n-n+1=5n+1种

设输入n个骰子的解（即概率列表）为f(n)，其中「点数和」x的概率为f(n,x)。假设已知n-1个骰子的解f(n-1)，此时添加一个骰子，求n个骰子的点数和为x的概率f(n,x)。

当添加骰子的点数为1时，前n-1个骰子的点数和应为x-1，方可组成点数和x；同理，当此骰子为2时，前n-1个骰子应为x-2；以此类推，直至此骰子点数为6。将这6种情况的概率相加，即可得到概率f(n,x)。递推公式如下：

$f(n,x)=\sum_{i=1}^{6}f(n-1,x-i)*\frac{1}{6}$

根据以上分析，得知通过子问题的解f(n-1)可递推计算出f(n)，而输入一个骰子的解f(1)已知，因此可通过解f(1)依次递推出任意解f(n)。

具体来看，由于新增骰子的点数只可能为1到6，因此概率f(n-1,x)仅与f(n,x+1)，f(n,x+2),...,f(n,x+6)相关。因而，遍历f(n-1)中各点数和的概率，并将其相加到f(n)中所有相关项，即可完成f(n-1)到f(n)的递推。

代码：

class Solution:
    def dicesProbability(self, n: int) -> List[float]:
        dp = [1 / 6] * 6
        for i in range(2, n + 1):
            tmp = [0] * (5 * i + 1)
            for j in range(len(dp)):
                for k in range(6):
                    tmp[j + k] += dp[j] / 6
            dp = tmp
        return dp

通常做法是声明一个二维数组 dp，dp[i][j]代表前 i个骰子的点数和 j的概率，并执行状态转移。而由于 dp[i] 仅由 dp[i-1]递推得出，为降低空间复杂度，只建立两个一维数组 dp , tmp 交替前进即可。

复杂度：

时间复杂度：O(N^2)，状态转移循环n-1轮，每轮中，当i=2,3,...,n时，对应循环数量分别为6*6,11*6,...,[5(n-1)+10*6，因此总体复杂度为O((N-1)*(6+[5(N-1)+1]/2*6)))
空间复杂度：O(N)，状态转移过程中，辅助数组中tmp最大长度为6(n-1)-[(n-1)-1]=5n-4