线性筛总结

最新推荐文章于 2024-12-26 07:30:00 发布

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#线性筛 #欧拉筛 #莫比乌斯函数 #欧拉函数 #因数和

线性筛是一种高效的计算质数、因数个数、因数和、欧拉函数及莫比乌斯函数的方法。通过筛选每个合数的最小质因数，可以实现对积性函数的快速计算。在实际应用中，如计算1e8以内的素数，该算法能在1s内完成，复杂度接近线性。同时，线性筛还可用于求解因数个数、因数和、欧拉函数以及莫比乌斯函数等。

线性筛

总体思想：筛某个合数时，总是这个数的最小质因数筛除它。

划重点：因数个数 $d (n)$ 、因数和 $s (n)$ 、欧拉函数 $p h i (n)$ 、莫比乌斯函数 $m u (n)$ 等均为 $n$ 的积性函数，能很好的利用“最小质因数”筛法性质。

一、筛质数

处理出 $1 e 8$ 以内的素数用时 $1 s$ 左右，实测复杂度为 $O (n)$ 带一个小常数。

$1 e 7$ 以内则 $0.1 s$ 左右。

const int maxn = 1e7+7;
const int maxp = 7e5+7;

bool vis[maxn];
int prime[maxp], tot;

void getPrime() {
   
   
    for(int i=2; i<maxn; ++i) {
   
   
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i;
        for(int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<maxn; ++j) {
   
   
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}