01背包

问题描述
　　给定N个物品,每个物品有一个重量W和一个价值V.你有一个能装M重量的背包.问怎么装使得所装价值最大.每个物品只有一个.
输入格式
　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示物品的个数和背包能装重量。
　　以后N行每行两个数Wi和Vi,表示物品的重量和价值
输出格式
　　输出1行，包含一个整数，表示最大价值。
样例输入
3 5
2 3
3 5
4 7
样例输出
8
数据规模和约定
　　1<=N<=200,M<=5000.

分析

需要用动态规划来求解。

设w[ i ]为第 i 件物品重量，v[ i ]为第i件物品价值。

dp[ i ][ j ]表示将前i件物品装入重量 j 的容器当中。

dp方程：

• 当 i = 0时，dp[ 0 ][ j ]表示把前0件物品装入j大小的容器，总价值为0，所以dp[ 0 ][ j ] = 0；
• 当 j = 0时，dp[ i ][ 0 ]表示把前i件物品装入0大小的容器，总价值为0，所以dp[ i ][ 0 ] = 0；
• 当 j < w[ i ] 时，第 i 件物品无法装入，dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ]；
• 当 j >= w[ i ]时，dp[ i ][ j ] = max( dp[ i-1 ][ j ], dp[ i -1 ][ j-w[ i ]] + v[ i ] )；

dp状态表

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 200 + 5; //物品最大数
const int M = 5000 + 5; //能装重量最大数
int w[N]; //物品的重量
int v[N]; //物品的价值
int dp[N][M]; 
int n, m; //物品数量和最大可装重量

void work(){
	for (int i = 0; i <= n; i++){
		for (int j = 0; j <= m; j++){
			if (i == 0 || j == 0){
				dp[i][j] = 0; //边界dp，结果为0
			}
			else{
				if (j < w[i]){ //装不下第i个物品
					dp[i][j] = dp[i - 1][j];
				}
				else{ //比较装或不装第i个物品，哪一个价值大
					dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
				}
			}
		}
	}
	cout << dp[n][m] << endl;
}

int main(){
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++){ //输入重量和价值
		cin >> w[i] >> v[i];
	}
	work();
	system("pause");
	return 0;
}