Nim 编程实现大整数乘法算法

我们平时接触的长乘法，按位相乘，是一种时间复杂度为 O(n ^ 2) 的算法。今天，我们来介绍一种，时间复杂度为 O (n ^ log 3) 的大整数乘法(log 表示以 2 为底的对数)。

介绍原理

karatsuba 算法要求乘数与被乘数要满足以下几个条件，第一，乘数与被乘数的位数相同；第二，乘数与被乘数的位数应为 2 次幂，即为 2 ^ 2, 2 ^ 3, 2 ^ 4， 2 ^ n 等数值。

下面我们先来看几个简单的例子，并以此来了解 karatsuba 算法的使用方法。

两位数相乘

我们设被乘数 A = 85，乘数 B = 41。下面来看我们的操作步骤：

将 A, B 一分为二，令 p = A 的前半部分 = 8，q = A 的后半部分 = 5 ， r = B 的前半部分 = 4 ，s = B 的后半部分 = 1，n = 2。通过简单的数学运算：

A * B = pq * rs = (p * 10 + q) * (r * 10 + s) = p * r * 10 ^ 2 + (p * s + q * r ) * 10 + q * s。

令 u = p * r，v = (p - q) * (s - r)，w = q * s。 所以 A * B = u * 10 ^ 2 + (u + v + w) * 10 + w。

换成数值求解的过程如下：

A * B = 85 * 41 = (8 * 10 + 5) * ( 4 * 10 + 1) = 8 * 4 * 10 * 10 + (8 * 1 + 5 * 4) * 10 + 5 * 1。其中 u = 8 * 4 = 32，v = (8 - 5) (1 - 4) = -9，w = 5 * 1 = 5。所以，A * B = 32 * 100 + (32 - 9 + 5) * 10 + 5 = 3485。与长乘法所得结果一致。

四位数相乘

我们设被乘数 A = 8537，乘数 B = 4123。下面来看我们的操作步骤：

将 A, B 一分为二，令 p = A 的前半部分 = 85，q = A 的后半部分 = 37 ， r = B 的前半部分 = 41 ，s = B 的后半部分 = 23，n = 4。

==> 其中，u = 85 * 41, v = (85 - 37) * (23 - 41), w = 37 * 23。

==> A * B = 8537 * 4123 = u * 10 ^ 4 + (u + v + w) * 10 ^ 2 + w = 3485_0000 +34_7200 + 851 = 35198051。