数据结构与算法之散列

数据结构与算法之散列

  其实在之前的算法练习题中已经使用到了散列（hash)这一思想，那就是以空间换时间。
  举例：现有整数集合M,还有一个输入的整数集合N,且M,N均小于等于10 的5次方。那么，我想知道集合N中的哪些整数出现在了集合M中？
 分析：一般的思路肯定是拿两个集合的数一个个比较，即用两个嵌套的循环实现。则此种的算法时间复杂度为O(n*m)。那么我们是否有办法使得时间复杂度从O(n+m)呢？即不使用嵌套的循环。办法就是空间换时间。
  我们先初始化一个数组hash[],长度至少为集合M、N中最大的整数值。
代码如下：

#include<cstring>
int main()
{
    const int maxn = 100001;
    int hash[maxn];
    memset(hash,0,sizeof(hash));
    int n;//集合N中的整数个数
    int m;//集合M中的整数个数
    int x;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&x);
        hash[x]+=1;//将输入的整数作为数组的下标。
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        scanf("%d",&x);
        printf("%d ",hash[x]);    
    }
    return 0;
}

 通过以上的代码我们成功的将时间复杂度降为O(n)级别，我们现在进一步的思考，当整数是非常大的话，比如是$10^9$，此时如果仍将其当做数组的下标的话，那么我们需要开一个很大的数组，显然此时的空间复杂度是很大的。所以我们可以取余数，即%mod,mod取一个很大的数，就可以对数进行缩小。如果集合中不再是整数，而是一个个的字符串，我们可以将其变换为数值。
 像上面通过对输入的数或字符串进行缩小或变换成数值，就是散列。散列即：将元素通过一个函数转换为整数，使得该整数可以尽量的唯一的代表该元素。这个变换函数就称为散列函数H。
 如果元素在转换前是key，则转换后就是H(key)。
  除留取余法：H(key)=key%mod。这样转换后的数值均在mod内。一般mod大于数组的范围。一般取mod为一个素数。避免转换前不相等的两数在转换后成相等的。
 如果转换后有比较多重合的数，我们用三种方法处理。
1，线性探查法：当key1!=key2，而H(key1)=H(key2),那么我们将key2向后挪一个位置，即H(key2)=H(key2)+1,如果这个位置仍被占则我们继续向后，如果超过了数组的范围，那么我们就从头开始继续，直到找到一个新位置。
2，平方探查法：我们使用线性探查法会出现“扎堆”的现行，即一连串的位置都被占了。那么我们我可以用平方探查法，H(key2)=(H(key2)+$k^2$)%length,length是数组的长度。
3，链地址法，当key1!=key2，而H(key1)=H(key2)时，我们不在对H(key2)的数值进行变换，而是将key1,key2连接成一个单链表。
 通过以上的内容，我们对于整数的散列有了基础的了解。那对于不是整数时，怎样进行散列呢？比如我们如何对二维的坐标进行散列呢？为了避免key1!=key2，而H(key1)=H(key2)这种情况，我们可以将二维坐标这样散列：(x,y)=x*range+y。即我们将其散列成一个整数。同样我们对于字符串也可散列成整数。
1，当字符串全由大写的字母组成时，我们将字符看做是26进制将其化为10进制的整数：

int str_hash_int_1 (char str[],int length){
  int t=0;
  for(int i=0;i<length;i++){
      t=t*26+(str[i]-"A")
  }
  return t;
}

2,当字符串有大小写字母组成时：

int str_hash_int_2(char str[],int length){
    int t=0;
    for (int i=0;i<length;i++){
        if(str[i]<="Z"&&str[i]>="A"){
            t=t*52+(str[i]-"A")
        }
        else {
            t=t*52+(str[i]-"a")+26
        }
    }
    reuturn t;
}

3，当字符混合着大小写字母和数字时：

int str_hash_int_3(char str[],int length){
    int t=0;
    for(int i=0;i<length;i++){
        if (str[i]<="Z"&&str[i]>="A" ){
            t=t*62+(str[i]-"A")
        }
        if (str[i]<="z"&&str[i]>="a" ){
            t=t*62+(str[i]-"a")+26
        }
        if (str[i]<="Z"&&str[i]>="A" ){
            t=t*62+(str[i]-"1")+52
        }
    }
    return t;
}