COMP9101 算法设计 week4

贪心算法

问题一：
一个活动ai的列表，1<=i<=n，si时间开始，fi结束，没有两个活动在同时发生。
任务：找到最大兼容size的子集。

尝试1：总是选择最短且与之前不冲突活动，删掉冲突的活动？

不可以。

尝试2:选择一个与其他冲突最小的activity。看起来对未来选择限制最小。

不可以。

**正确的策略：**在不与之前选择的冲突下，总是选择结束时间最早的。

证明这个贪心算法的最优

证明任何最优解与贪婪算法的活动数量相同：

1. 找到违反贪婪原则的第一个的活动。
2. 表明用贪婪算法的选择代替这个活动可以得到相同数量的活动。
3. 循环以上步骤知道贪婪算法完全代替最优解。
   
   时间复杂度：
   我们将他们的对初始时间和结束时间排序,按结束时间的增序。
   —>时间复杂度：O(nlogn)
   我们按顺序查看列表，找到第一个开始时间是在前一个活动的结束时间之后的活动。
   每个活动被执行一次，所以每次需要O(n).
   所以，总的时间复杂度是O(nlogn).

问题二：
一个活动列表同问题一，但结束时间是fi=si+d. 所以所有的活动的运行时间都相同。没有两个活动占用同样的时间。

任务：找到一个有最大持续时间的活动子集。
因为所有的活动持续时间一样，等价于找到不冲突的活动的最大个数。

如果持续时间不一样呢？
贪心策略不能用了。—>动态规划

问题三：
Telstra想为住户提供网络服务，基站范围是5km。放置最少的基站覆盖所有房屋。

贪心算法：

一名Telstra工程师从最靠近左边的房屋开始，并在5公里处放置了一座塔。然后，他找到了不在基站范围内的最西侧的房屋，并在距基站以东5公里处放置了另一座塔楼，并以此方式循环。
他的另一名同事做了相同的事但是从右向左，并称用了更少的塔？
答案是否定的。因为最优算法左右都是一样的。

问题四：
初始时间T0，有一系列工作ai，1<=i<=n, 持续时间ti并且截止时间di。同事间只有一个工作在进行。所有工作必须完成。如果一个工作ai在fi>di的时间完成，则算推迟时间li=fi-di。

任务：计划所有的时间，使job最大的推迟时间最短。
解决方式：忽略工作持续时间并且按截止时间的升序安排工作。
最优解：考虑最优解不包含反转。如果ai被安排在 aj之前但dj <di，则作业ai和aj形成一个反转。

如图，dj<di, 但工作i在工作j之前被安排。

我们需证明存在一个解没有任何的相反。
冒泡排序消除反转！

因为反转后fi-di和f(i+1)-d(i+1)都小于反转前的f(i+1)-d(i+1),
交换相邻的相反的工作减少最大延迟时间。所以交换直到消除反转。

问题5：Tape storage
一个有着n个files，长度为li的列表需要存储到磁带上。每个文件可能性均等。要检索一个文件，必须从头开始扫描直到找到磁盘上对应文件。
任务：对磁盘上文件排序使平均检索时间最小。
解决方法：如果文件按l1…ln的顺序存储，所以预计时间是：
l1+(l1+l2)+(l1+l2+l3)+…+(l1+l2+l3+…+ln)=nl1+(n-1)l2+(n-3)l3+…+2l(n-1)&