本文介绍了MATLAB中如何应用拉普拉斯算子，包括在不同坐标系下的表达形式，以及如何使用del2函数进行离散拉普拉斯运算。通过代码示例展示了拉普拉斯矩阵的可视化过程，包括一维和二维函数的拉普拉斯运算结果。
1、拉普拉斯算子 ∇ 2 \nabla^ 2 ∇2
拉普拉斯算子有很多用途，在物理中常用于波动方程、热传导方程和亥姆霍兹方程的数学模型；在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见；在数学中，经拉普拉斯算子运算运算为零的函数称为调和函数。可表示为： ∇ ⋅ ( ∇ u ) = ∇ 2 u \nabla \cdot (\nabla u)=\nabla^2 u ∇⋅(∇u)=∇2u
拉普拉斯算子在不同的坐标系下具有不同的表达形式：
- 直角坐标系 ∇ 2 u = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 \nabla^2 u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2} ∇2u=∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u
- 圆柱坐标系 ∇ 2 u = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ u ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 u ∂ ϕ 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 \nabla^{2} u=\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial \phi^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} ∇2u=ρ1∂ρ∂(ρ
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