红黑树的概念
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。
红黑树的性质
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
红黑树节点的定义
//节点的颜色
enum Color
{
RED,
BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _left; //左孩子
RBTreeNode<K, V>* _right; //右孩子
RBTreeNode<K, V>* _parent;//双亲
pair<K, V> _kv;
Color _col; //红黑颜色限制, 新插入节点默认为红色
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv, Color col = RED)
: _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _col(col)
{}
};
红黑树的结构
为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 _parent 域指向红黑树的根节点，_left域指向红黑树中最小的节点，_right域指向红黑树中最大的节点，如下：
红黑树的插入
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其颜色限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
1.按照二叉搜索的树规则插入新节点
2.检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
- 情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
如果 g是根节点，调整完成后，需要将 g改为红色
如果 g是子树，g一定有双亲，且 g的双亲如果是红色，需要继续向上调整
解决方式：将p，u改为黑，g改为红，然后把 g当成 cur，继续向上调整
- 情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑
u的情况有两种：
(1)如果 u节点不存在，则 cur一定是新插入节点，因为如果 cur不是新插入节点，则 cur和 p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4：每条路径黑色节点个数相同。
(2)如果 u节点存在，则其一定是黑色的，那么 cur节点原来的颜色一定也是黑色的，现在看到其是红色的原因是因为 cur的子树在调整的过程中将 cur节点的颜色由黑色改成红色。
解决方式：
(1) p为 g的左孩子，cur为 p的左孩子时，进行右单旋
(2) 相反，p为 g的右孩子，cur为 p的右孩子时，进行左单旋
(3) p、g变色，p变黑，g变红
- 情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑
解决方式：
(1)p为 g的左孩子，cur为 p的右孩子时，则针对 p做左单旋
(2)相反，p为 g的右孩子，cur为 p的右孩子时，则针对 p做右单旋
(3)交换 p和 cur的位置，此时就转换成了情况2来解决
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (kv.first > parent->_kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
//检测红黑树的性质
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
//情况一：uncle存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续向上调整
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else //情况二/三：uncle不存在或uncle存在且为黑
{
//情况三双旋后变单旋，成为情况二
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(parent);
//交换的是节点的指针，不是节点
swap(cur, parent);
}
//处理情况二
RotateR(grandfather);
grandfather->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
//调整结束
break;
}
}
else //parent == grandfather->_right
{
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle&& uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(parent);
swap(cur, parent);
}
RotateL(grandfather);
grandfather->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
红黑树的验证
红黑树的检测分为两步：
- 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
- 检测其是否满足红黑树的性质
bool IsValidRBTree()
{
//空树也是红黑树
if (nullptr == _root)
{
return true;
}
//检测根节点是否满足情况
if (BLACK != _root->_col)
{
cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
return false;
}
//获取任意一条路径中黑色节点的个数
size_t blackCount = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (BLACK == cur->_col)
{
blackCount++;
}
cur = cur->_left;
}
//检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
size_t k = 0;
return _IsValidRBTree(_root, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t blackCount)
{
//走到null之后，判断k和blackCount是否相等
if (nullptr == root)
{
if (k != blackCount)
{
cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
return false;
}
return true;
}
//统计黑色节点的个数
if (BLACK == root->_col)
{
k++;
}
//检测当前节点与其双亲是否都为红色
Node* parent = root->_parent;
if (parent && RED == parent->_col && RED == root->_col)
{
cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
return false;
}
return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount)
&& _IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount);
}
红黑树的应用
- C++ STL库 – map/set、mutil_map/mutil_set
- Java 库
- linux内核
- 其他一些库
完整代码实现
#include <iostream>
using namespace std;
//节点的颜色
enum Color
{
RED,
BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _left; //左孩子
RBTreeNode<K, V>* _right; //右孩子
RBTreeNode<K, V>* _parent;//双亲
pair<K, V> _kv;
Color _col; //红黑颜色限制, 新插入节点默认为红色
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv, Color col = RED)
: _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _col(col)
{}
};
template<class K, class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (kv.first > parent->_kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
//检测红黑树的性质
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
//情况一：uncle存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续向上调整
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else //情况二/三：uncle不存在或uncle存在且为黑
{
//情况三双旋后变单旋，成为情况二
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(parent);
//交换的是节点的指针，不是节点
swap(cur, parent);
}
//处理情况二
RotateR(grandfather);
grandfather->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
//调整结束
break;
}
}
else //parent == grandfather->_right
{
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle&& uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(parent);
swap(cur, parent);
}
RotateL(grandfather);
grandfather->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_kv.first)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_kv.first)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
bool IsValidRBTree()
{
//空树也是红黑树
if (nullptr == _root)
{
return true;
}
//检测根节点是否满足情况
if (BLACK != _root->_col)
{
cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
return false;
}
//获取任意一条路径中黑色节点的个数
size_t blackCount = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (BLACK == cur->_col)
{
blackCount++;
}
cur = cur->_left;
}
//检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
size_t k = 0;
return _IsValidRBTree(_root, k, blackCount);
}
private:
bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t blackCount)
{
//走到null之后，判断k和blackCount是否相等
if (nullptr == root)
{
if (k != blackCount)
{
cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
return false;
}
return true;
}
//统计黑色节点的个数
if (BLACK == root->_col)
{
k++;
}
//检测当前节点与其双亲是否都为红色
Node* parent = root->_parent;
if (parent && RED == parent->_col && RED == root->_col)
{
cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
return false;
}
return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount)
&& _IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* pParent = parent->_parent;
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (_root == parent)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == pParent->_left)
{
pParent->_left = subR;
}
else
{
pParent->_right = subR;
}
subR->_parent = pParent;
}
}
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* pParent = parent->_parent;
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (_root == parent)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == pParent->_left)
{
pParent->_left = subL;
}
else
{
pParent->_right = subL;
}
subL->_parent = pParent;
}
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
测试用例
void Test()
{
int arr[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
RBTree<int, int> t;
for (auto e : arr)
{
t.Insert(make_pair(e, e));
}
t.InOrder();
cout << t.IsValidRBTree() << endl;
RBTreeNode<int, int>* ret = t.Find(26);
if (ret)
{
cout << "找到了:" << ret->_kv.first << endl;
}
else
{
cout << "没找到" << endl;
}
}
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