线性基模板

最新推荐文章于 2020-09-22 19:21:39 发布

Philogag

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分类专栏： acm 文章标签： acm

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线性基是一种处理异或和极值问题的数学工具，适用于ACM竞赛。它涉及概念、性质、代码实现，包括构造、插入、最大值、最小值、是否包含特定值、第k小值等操作。此外，还有线性基的合并、相交、区间查询的离线加速方法以及封装的单个线性基。

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线性基

线性基

概念

一组线性无关¹的向量可以作为一组基底，形成一个线性向量空间，这个基底就被称为 线性基。将这个线性基的基底进行线性运算，可以表示向量空间内的所有向量，即所有向量可以拆成基底的线性组合²。

特殊情况：一个线性空间的所有的法向量可以构成一个线性基

应用

处理有关 异或和的极值问题。

原理:

一个值转化为二进制表示长为n位，那么这就可以看作一个n维向量，那么就可以将其拆解为n个基底向量的线性组合

由于异或运算的封闭性³，向量组 ${a,b\}$ 的基底与 $\{a,a\oplus b\}$ 相同

由于线性基要求线性无关¹，所以当一个值 $x$ 要插入线性基 $D$ 时，插入的实际值为 $x\oplus \sum_{d_i\in D}\oplus d_i$

若存在 $A\subseteq D$ ，使得 $x\oplus\sum_{d_i\in A}\oplus d_i = 0$ ，则代表 $x$ 已经能被 $D$ 线性组合而成，无需插入 $x$ 。(线性无关要求)

性质

设线性基的异或集合中不存在0。
线性基的异或集合中每个元素的异或方案唯一，其实这个跟性质1是等价的。
线性基二进制最高位互不相同。
如果线性基是满的，它的异或集合为 $1,2^n−1]$ 。
线性基中元素互相异或，异或集合不变。

代码实现

构造

直接遍历所有元素进行单元素插入

插入

// 线性基
// 将值 x 插入 线性基d
const int size = 64; // 基的最多个数为 x的二进制位数
long d[size];
bool insert(int id, long x)
{
   
   
    for (int i = 31; i >= 0; i--)
        if (x & (1LL << i))
        {
   
   
            if (!d[i