二叉搜索树

二叉搜索树

二叉搜索树（BST）是能够高效进行以下操作的数据结构

(STL中set就是使用了二叉搜索树来维护的)

• 插入一个数值
• 查询是否包含某个数值
• 删除某个数值

二叉搜索树的存储特性，所有的节点都满足左子树上的所有节点都比自己小，右子树上的所有节点都比自己大，并且树中没有重复的值。

一般有3种操作，插入，查找和删除，查找和删除都比较简单，只需要往比较关键值的大小，不断往左右子树寻找即可，直到找到正确的位置

例如下图，是一棵二叉搜索树

如果要删除10这个节点，那么应该从10的子树中提一个节点上来，一般来说，删除节点需要根据下面几种情况来分别进行处理

• 需要删除的节点没有左儿子，那么就把右儿子提上去
• 需要删除的节点有左儿子并且没有该左儿子没有右儿子，那么就把左儿子提上去
• 如果以上两点不满足，那就找左儿子子孙中最大的节点提上去

不管进行什么操作，时间和树的高度成正比，假设有$n$个元素，时间复杂度为$O(logn)$

实现操作，靠一个链表结构来表示，每一个节点都包含左右指向左右儿子的指针

struct node {
	int val;
	node *left, *right;
};
node *root = NULL;

插入操作

node *insert(node *p, int x) {
	if(p == NULL) { //如果当前节点为空，则找到了插入的位置
		node *q = new node;
		q->val = x;
		q->left = q->right = NULL;
		return q;
	}else {
		if(p->val > x) p->left = insert(p->left, x); //如果小于则往左子树插入
		else p-> right = insert(p->right, x); //往右子树插入
		return p;
	}
}

查找操作

bool find(node *p, int x) {
	if(p == NULL) return false; //找到叶子节点都没有 则返回0
	else if(x == p->val) return true; //找到
	else if(x < p->val) return find(p->left, x); //小于，递归左子树
	else return find(p->right, x); //递归右子树
}

删除操作

node *remove(node *p, int x) {
	if(p == NULL) return NULL;
	else if(x < p -> val) p -> left = remove(p -> left, x); //找到删除的节点
	else if(x > p -> val) p -> right = remove(p -> right, x);
	else if(p -> right == NULL) { //如果右子树为空，那么左边都比它本身小，删除即可
		node *q = p -> right;
		delete p;
		return q;
	}else if(p -> left -> right == NULL) { //左子树的右儿子为空，那么本身就是最大的，同样删除即可
		node *q = p -> left;
		q -> right = p -> right;
		delete p;
		return q;
	}else { //找出左子树中，最大的节点放上去
		node *q;
		for(q = p -> right; q -> right -> right != NULL; q = q -> right);
		node *r = q -> right;
		q -> right = r -> left;
		r -> left = p -> left;
		r -> right = p -> right;
		delete p;
		return r;
	}
	return p;
}

完整操作

#include <iostream>
using namespace std;
struct node {
	int val;
	node *left, *right;
};
node *root = NULL;

node *insert(node *p, int x) {
	if(p == NULL) {
		node *q = new node;
		q -> val = x;
		q -> left = q -> right = NULL;
		return q;
	}else {
		if(p -> val > x) p -> left = insert(p -> left, x);
		else p -> right = insert(p -> right, x);
		return p;
	}
}
bool find(node *p, int x) {
	if(p == NULL) return false;
	else if(x == p -> val) return true;
	else if(x < p -> val) return find(p -> left, x);
	else return find(p -> right, x);
}
node *remove(node *p, int x) {
	if(p == NULL) return NULL;
	else if(x < p -> val) p -> left = remove(p -> left, x);
	else if(x > p -> val) p -> right = remove(p -> right, x);
	else if(p -> right == NULL) {
		node *q = p -> right;
		delete p;
		return q;
	}else if(p -> left -> right == NULL) {
		node *q = p -> left;
		q -> right = p -> right;
		delete p;
		return q;
	}else {
		node *q;
		for(q = p -> right; q -> right -> right != NULL; q = q -> right);
		node *r = q -> right;
		q -> right = r -> left;
		r -> left = p -> left;
		r -> right = p -> right;
		delete p;
		return r;
	}
	return p;
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for(int i = 1, j; i <= n; i++) { //插入n个元素
		cin >> j;
		root = insert(root, j);
	}
	int x, y;
	cin >> x >> y;
	root = remove(root, y); //删除节点t
	bool f = find(root, x); //查找节点x
	if(f) cout << "yes\n";
	else cout << "no\n";
	return 0;
}

树的遍历

/**
 遍历结果保存在vector动态数组中
**/
void preorder(node *root, vector <int> &path) { //先序遍历
	if(root != NULL) {
		path.push_back(root -> val);
		preorder(root -> right, path);
		preorder(root -> left, path);
	}
}
void inorder(node *root, vector <int> &path) { //中序遍历（从大到小）
	if(root != NULL) {
		inorder(root -> right, path);
		path.push_back(root -> val);
		inorder(root -> left, path);
	}
}
void postorder(node *root, vector <int> &path) { //后序遍历
	if(root != NULL) {
		postorder(root -> right, path);
		postorder(root -> left, path);
		path.push_back(root -> val);
	}
}