向量计算笔记

用向量计算空间两条直线的夹角方法 空间向量求两直线夹角

空间两条直线用向量计算夹角的方法

近年来高考数学利用向量计算二面角，直线夹角的试题似乎每年都有，这是一种趋势，说明向量计算的简洁和直观。

本篇讲述向量的点积，也叫数量积的计算方法，从而得出向量夹角的公式。

我们知道向量是有大小和方向：

两个向量的乘积可以是个数量，如力在一个方向上作用会使物体在另一个方向移动所做的功，这个积就是向量的点积，有：

为什么乘以余弦，而不是正弦，这是因为力做功只有在移动的方向才有功，垂直移动的方向是不做功的，或做功为零，而力在位移方向的投影就是和余弦相关。

两个向量不管放在哪里，只要大小相等，方向一致，就是一个向量，所以在直角平面坐标系中，某个向量的表达是唯一的，我们沿着x 轴的单位向量为i, 沿着y轴的单位向量为j, 那么向量a可以表示为：

由于单位向量i和j相互成90度，所以i.j=1x1.cos=0，因此：

由此可以推出平面两个向量如果知道它们的坐标， 那么它们的夹角余弦为：

此公式可以推广到三维空间的两个向量的夹角余弦值。

只要根据空间中的线段的两个有序端点的坐标，就可以求出向量a和b的ax, ay, az以及bx, by, bz, 带入上式就求得空间两条直线的夹角。例如下图的向量a和b的夹角的计算：

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求圆的顺时针切线向量和逆时针切线向量

1:圆上点坐标可用(mid.x + r * cosβ, mid.y + r * sinβ)表示
顺时针切线向量：sinβi - cosβj
逆时针切线向量：-sinβi + cosβj

2:假设设圆心是O, 圆上任意一点为P, OP的单位向量为 r = OP/|OP|
则顺时针切向量为(-r.y,r.x)， 逆时针切向量为(r.y,-r.x)
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设a，b是两个向量a=（a1，a2），b=（b1，b2）；
垂直向量的公式为：a1b1+a2b2=0。

3.圆上一点的切线方程

圆上一点的切线方程推导是：设圆心为C，切点为P，则CP斜率为（y0-b)/(x0-a)，
因此切线斜率为负的（x0-a)/(y0-b)，
所以切线为y-y0=-[(x0-a)/(y0-b)](x-x0)，
即(y-y0)(y0-b)=-(x-xo)(x0-a)，
[(y-b)-(y0-b)](y0-b)+[(x-a)-(x0-a)](x0-a)=0，
(y-b)(y0-b)-(y0-b)^2+(x-a)(x0-a)-(x0-a)^2=0
而(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2，
所以为(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r^2。

几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。
更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。

4.判断两个平面向量之间夹角是顺时针还是逆时针

断两个向量之间夹角是顺时针还是逆时针
利用平面向量的叉乘
a = (x1,y1) b = (x2,y2)
a×b = x1y2 - x2y1
若结果为正，则向量b在a的逆时针方向
否则，b在a的顺时针方向
若结果为0，则a与b共线

注：两向量之间夹角以小于180度计算