背包问题

一、01背包
题目：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路：
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

	f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 

解释：
若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题:
如果不放第i件物品，则转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；
如果放第i件物品，则转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，最大价值就是f[i-1][v-c[i]]+w[i]。
二、完全背包
题目 :
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
思路：
简单优化：
1）若两件物品i、j满足c[i]<=c[j] 并且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑 .
2）将费用大于V的物品去掉 .
转化为01背包：
考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题
状态转移代码

for i=1..N
		for v=0..V
			f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0=<k<=V/c[i]}
单独考虑f[i][v]时，二维形式就是：
	f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|k=0..m};m=V/c[i];

三、多重背包
题目：
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大 。
思路：
用二进制思想。注意这儿要2^k中k的取值。大致取值意思为

k=0;sum=0;cnt=0;
		while(1)
		  if(sum+2^k>n[i]) break;  //
		  zopack[…][cnt++]=2^k;
		  sum+=2^k;
		zopack[…][cnt++]=n[i]-sum;  //
 		这里对于每一个n[i]都有一个zopack[];然后将每一zopack[][]看作01背包的每一个物品就可以按照01背包的思想做了。

四、分组的背包问题
题目：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
思路：
这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值
状态方程：

f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于组k}

近期对背包问题的总结，但是实践是检验真理的唯一标准，要想学好背包问题，并在各种背包问题之间轻松切换还需要对题目的理解与大量的练习。