数模(1)：公平分配问题

某学院有3个系共200名学生，其中甲系103人，乙系63人，丙系34人，分配20个院学生会主席团席位，如何分配才公平？如果分配21个，该如何分配呢？

1.将按比例取整损失作为目标函数

最先想到的方法就是按比例分配。甲、乙、丙三系人数分别占总学生数的51.5%、31.5%、17%。

在分配20个学生会主席团席位时，分到的人数应分别是10.3、6.3、3.4。因为人数不能是小数，将人数向下取整，则分到的人数分别是10、6、3，这时候还余下一个席位，将这个席位分给在向下取整过程中损失最多的丙。最终分配结果为10、6、4。

在分配21个学生会主席团席位时，分到的人数应分别是10.815、6.615、3.57。因为人数不能是小数，将人数向下取整，则分到的人数分别是10、6、3，这时候还余下两个席位，将这个席位分给在向下取整过程中损失最多的两个系，也就是甲和乙。最终分配结果为11、7、3。

我们会发现，学生会主席团的席位变多之后，丙系分配到的席位数反而减少了。可见，将按比例取整损失作为目标函数并非是最佳的方案。

2.通过代表学生数求出目标函数

我们知道一个主席团中来自不同系的成员分别代表了自己系的利益。主席团中来自本系的成员越少，本系的学生越多，主席团中一个成员需要代表的学生就越多，对这个系来说就越不公平，这也是我们在直观上选择按比例分配的最基本原因。如果我们贯彻这个初衷，将一个成员代表学生数作为我们的目标函数，将取整过程中多出的席位分配给目标函数值高的系，可以更公平地解决这个问题。

设总学生数为N，总共有I个系，每个系的学生数为$N_i$(i=1,2,…,I)，学生会主席团席位为n个，则每个系应当分到的席位数为$\frac{N_i}{N}\cdot n$，设这个值为$a_i$，则每个席位代表的学生数为$f_i=\frac{N_i}{a_i}$。对$a_i$向下取整，并将$N_i$用$a_i$表示，得$f_i=\frac{\frac{N}{n}\cdot a_i}{[a_i]}$，用$a_i$表示$a_i$的小数部分，则有fi=Nn⋅[ai]+Nn⋅{ai}[ai]=Nn⋅(1+{ai}[ai])f_i=\frac{\frac{N}{n}·[a_i]+\frac{N}{n}·\{a_i\}}{[a_i]}=\frac{N}{n}·(1+\frac{\{a_i\}}{[a_i]})fi​=[ai​]nN​⋅[ai​]+nN​⋅{ai​}​=nN​⋅(1+[ai​]{ai​}​)。易知这个目标函数的值只与{ai}[ai]\frac{\{a_i\}}{[a_i]}[ai​]{ai​}​有关。进行按比例向下取整分配后，多出来的席位(假设有m个)应当被平均分配给该目标函数值前m高的系。

用python实现以上算法，输入系的个数、每个系的人数、学生会的名额，给出每个系的a值、f值和分配方案：

import numpy as np

I=int(input())
lis=[]
for i in range(0,I):
    lis.append(int(input()))
arr=np.array(lis)
n=int(input())
per=(arr/np.sum(arr)).astype(np.float_)
arg=n*per
print(arg)
f=np.sum(arr)/n*(1+(arg-np.floor(arg))/np.floor(arg))
print(f)
ord=np.argsort(f)
m=int(n-np.sum(np.floor(arg)))
arg=np.floor(arg)
for i in range(0,m):
    arg[ord[-i-1]]+=1
print(arg)

输入3、103、63、34、20时，输出结果为：

输入3、103、63、34、21时，输出结果为：

3.Q值法

依旧还是基于平均每席位代表学生数来衡量公平性。对于空余的席位，我们将它们一个个依次分配给每个系，则对于分配到新席位的系，假设其人数为$N_i$，原本的席位数为$n_i$，它的平均每席位代表学生数$a_i$就会由$\frac{N_i}{n_i}$变成$\frac{N_i}{n_i+1}$。

我们知道公平是相互参考的，现在用Q值来衡量两个系之间相互参考下不公平的程度。设有两系i系和j系，如果$a_i$>$a_j$，则分配方案对i系不公平，其相对不公平程度为$\frac{a_i-a_j}{a_j}$。如果$a_i$<$a_j$，则分配方案对j系不公平，其相对不公平程度为$\frac{a_j-a_i}{a_i}$。每多分配一个席位，这个相对不公平程度就会改变。我们可以分别计算把席位分配给两个系后的相对不公平程度，取两者中结果较小的方案。

1. 如果把席位分配给i系后$a_i$>$a_j$，则分配后依然对i系不公平，分配肯定成立
2. 如果把席位分配给i系后$a_i$<$a_j$，则分配后对j系不公平。不公平程度为$\frac{\frac{N_j}{n_j}-\frac{N_i}{n_i+1}}{\frac{N_i}{n_i+1}}$
3. 如果把席位分配给j系后$a_i$>$a_j$，则分配后对i系不公平。不公平程度为$\frac{\frac{N_i}{n_i}-\frac{N_j}{n_j+1}}{\frac{N_j}{n_j+1}}$
4. 如果把席位分配给j系后$a_i$<$a_j$，则分配后依然对j系不公平，分配肯定成立

事实上我们只需讨论2、3两种情况。我们假设把席位分配给i系的不公平程度低于把席位分配给j系，有$\frac{\frac{N_j}{n_j}-\frac{N_i}{n_i+1}}{\frac{N_i}{n_i+1}}<\frac{\frac{N_i}{n_i}-\frac{N_j}{n_j+1}}{\frac{N_j}{n_j+1}}$，也就是$\frac{N_j(n_i+1)}{n_j{N}_i}<\frac{N_i(n_j+1)}{n_i{N}_j}$，即$\frac{n_i(n_i+1)}{N_i^2}<\frac{n_j(n_j+1)}{N_j^2}$，这样我们获得了只与一个系自己的已有席位和总人数有关的评判因子，称$\frac{n_i(n_i+1)}{N_i^2}$为i系的Q值，计算每一个系的Q值，假设剩余m个席位，则将这些席位分配给Q值前m小的系。

用python实现以上算法，输入系的个数、每个系的人数、学生会的名额，给出每个系的Q值和分配方案：

import numpy as np

def cal(Ni,ni,Nj,nj):
    if Ni/ni>Nj/nj:
        return (Ni/ni-Nj/nj)/(Ni/ni)
    else:
        return (Nj/nj-Ni/ni)/(Nj/nj)

I=int(input())
lis=[]
for i in range(0,I):
    lis.append(int(input()))
arr=np.array(lis)
n=int(input())
per=(arr/np.sum(arr)).astype(np.float_)
arg=np.floor(n*per)
Q=arg*(arg+1)/(arr*arr)
print(Q)
m=int(n-np.sum(arg))
ord=np.argsort(Q)
for i in range(0,m):
    arg[ord[i]]+=1
print(arg)

输入3、103、63、34、20时，输出结果为：

输入3、103、63、34、21时，输出结果为：