4.寻找两个有序数组的中位数(python)

本文介绍了一种寻找两个已排序数组中位数的方法,通过合并并排序数组,然后根据数组长度的奇偶性确定中位数。提供了一个Python实现示例。

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【题目】
在这里插入图片描述
【解答思路】
首先将两数组合并成一个新的数组,再进行排序,再判断新数组的len是奇数还是偶数,奇数:中位数取len/2位置上的值,偶数:中位数取len/2+(len/2-1)两数的平均值。

【python】

class Solution(object):
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
        """
        :type nums1: List[int]
        :type nums2: List[int]
        :rtype: float
        """
        nums3 = nums1 + nums2
        nums3.sort()
        len_nums = len(nums3)
        if len_nums % 2 ==0:
            return ((nums3[len_nums/2] + nums3[len_nums/2 -1])/2)
        else:
            return (nums3[int(len_nums/2)])

【总结】
采用sort函数进行排序

<think>好的,我需要解决用户提出的两个有序数组中位数问题。首先,用户希望得到算法和代码示例,所以我要先理解问题,再整理解决思路。 根据用户提供的引用,特别是引用[2]和[3],提到了合并排序法和二分法,其中二分法的时间复杂度是O(log(m+n)),这更高效。用户可能已经知道合并排序法,但更想了解高效的解法,所以应该重点讲二分法。 首先,我需要回忆中位数的定义:对于合并后的有序数组,如果长度是奇数,中位数是中间的数;如果是偶数,是中间两个数的平均值。直接合并数组虽然可行,但时间复杂度是O(m+n),不符合要求。而题目要求O(log(m+n)),所以必须用二分查找优化。 接下来,我需要分解二分法的步骤。核心思想是将两个数组分别分成左右两部分,使得左边的元素都小于右边的元素,并且左右两边的元素数量相等或差一。具体来说,假设数组A和B,分别在i和j的位置分割,使得i + j = (m + n + 1)/2 - 1,且A[i-1] <= B[j]和B[j-1] <= A[i]。然后根据奇偶情况计算中位数。 需要处理边界情况,比如当i为0或j为0时,某个数组的所有元素都在左边或右边。这部分容易出错,要特别注意。 然后考虑代码实现。通常使用较短的数组进行二分查找,以减少时间复杂度。初始化两个指针low和high,逐步调整分割位置,直到满足条件。最后根据分割点附近的元素计算中位数。 还要考虑代码的正确性,比如测试用例是否覆盖奇偶长度、数组为空的情况等。例如,当其中一个数组完全在另一个数组的左边或右边时,分割点是否正确。 最后,用户可能需要代码示例,所以需要用Python或其他语言实现,并添加注释说明关键步骤。同时,根据引用中的信息,用户可能对归并排序的方法感兴趣,但需要指出其时间复杂度的不足,而推荐更优的二分法。 总结步骤:明确问题,分析时间复杂度需求,介绍二分法的思路,处理边界条件,给出代码示例,并比较不同方法的优劣。同时,根据用户提供的引用,适当引用相关内容,如合并排序法的例子,但强调二分法的优势。</think>### 求解两个有序数组合并后中位数的算法及代码示例 #### 问题分析 中位数的定义是:将两个有序数组合并后的有序数组中,位于中间位置的数(若合并后长度为奇数)或中间两个数的平均值(若长度为偶数)。直接合并数组再取中位数的算法时间复杂度为 $O(m+n)$,但通过二分法可优化至 $O(\log(m+n))$[^2][^3]。 --- #### 算法思路(二分法) 1. **核心思想**: 将两个数组 $A$ 和 $B$ 分别切割为左右两部分,使得左边部分的最大值小于等于右边部分的最小值,且左右部分元素数量相等或相差1。设分割点为 $i$(数组 $A$)和 $j$(数组 $B$),满足 $i + j = \frac{m + n + 1}{2}$。 2. **边界条件**: - 若 $i=0$,则左边部分的最大值为 $B[j-1]$; - 若 $j=0$,则左边部分的最大值为 $A[i-1]$; - 若 $i=m$ 或 $j=n$,需判断右边部分的最小值。 3. **调整分割点**: 通过二分查找调整 $i$,使得 $A[i-1] \leq B[j]$ 且 $B[j-1] \leq A[i]$。 --- #### 代码实现(Python) ```python def findMedianSortedArrays(nums1, nums2): if len(nums1) > len(nums2): nums1, nums2 = nums2, nums1 # 确保nums1是较短的数组 m, n = len(nums1), len(nums2) low, high = 0, m while low <= high: i = (low + high) // 2 # nums1的分割点 j = (m + n + 1) // 2 - i # nums2的分割点 # 处理边界情况 max_left_A = float('-inf') if i == 0 else nums1[i-1] min_right_A = float('inf') if i == m else nums1[i] max_left_B = float('-inf') if j == 0 else nums2[j-1] min_right_B = float('inf') if j == n else nums2[j] # 判断分割是否满足条件 if max_left_A <= min_right_B and max_left_B <= min_right_A: if (m + n) % 2 == 1: return max(max_left_A, max_left_B) else: return (max(max_left_A, max_left_B) + min(min_right_A, min_right_B)) / 2 elif max_left_A > min_right_B: high = i - 1 # 向左调整分割点 else: low = i + 1 # 向右调整分割点 return 0.0 ``` --- #### 示例说明 假设 `nums1 = [1, 3]`,`nums2 = [2]`,合并后为 `[1, 2, 3]`,中位数为 `2`。算法执行步骤如下: 1. 初始化 `low=0`, `high=2`,计算 `i=1`, `j=1`; 2. 检查 `max_left_A=3` 是否 `<= min_right_B=2`?不满足,向左调整分割点; 3. 重新计算 `i=0`, `j=2`,检查条件满足; 4. 中位数为 `max(1, 2) = 2`。 --- #### 复杂度分析 - **时间复杂度**:$O(\log(\min(m, n)))$,因每次二分范围减半; - **空间复杂度**:$O(1)$,仅需常数空间。 --- #### 对比其他方法 - **合并排序法**:直接合并数组后取中位数,时间复杂度 $O(m+n)$[^1]; - **二分法**:无需合并数组,时间复杂度更优。 ---
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