算法时间、空间复杂度案例

1. 时间频度

一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

2. 算法的时间复杂度

• 在时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。
• 一般情况下，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)), 称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度，O便是复杂度的符号。
• 在计算平均复杂度的时候，我们其实做了一个假设：所有情况出现的概率都是一样的。
• 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：
  常数阶O(1) < 对数阶O(logN) < 线性阶O(n) < 线性对数阶O(nlogN) < 平方阶O(n²) < 立方阶O(n³) < K次方阶O(n^k) < 指数阶(2^n)
  （从左至右依次时间复杂度越来越大，执行的效率越来越低）
  代码详见：https://blog.youkuaiyun.com/xy707707/article/details/80428443

案例：

1. 如果一个网站要对它的用户发放优惠券，那我们就需要先找到这些用户。我们用一个长度为 n 的数组代表某个网站的用户列表。我们假设第一个注册用户 ID 是 1，第二个注册用户的 ID 是 2，以此类推，最近刚刚注册的用户 ID 为 n。
2. 如果网站的发放策略是倾向于奖励新用户，那么被查找的用户 ID 有很大的概率会非常接近 n，因此平均复杂度就会非常接近 O(n)。相反，如果网站的发放策略是倾向于奖励老用户，那么搜索的用户 ID 有很大的概率是非常接近 1 的，因此平均复杂度会非常接近 O(1)。

（由此可见，不均匀的概率分布，最终会影响平均复杂度的加权平均计算。）

3. 算法的空间复杂度

是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，与时间复杂度类似，渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。

• 当算法的空间复杂度为一个常量，即不随被处理数据量n的大小而改变时，可表示为O(1)；
• 当算法的空间复杂度与以2为底的n的对数成正比时，可表示为0(10g2n)；
• 当算法的空I司复杂度与n成线性比例关系时，可表示为0(n)