数据挖掘day07-线性代数的本质07～08

07、点积与对偶性

以下内容可能与原视频不一致，都是记录我自己的理解，原视频地址 线性代数的本质
点积，定义：内积空间。
几何意义：$\vec{V}\cdot \vec{W}$，是$\vec{W}$在$\vec{V}$上的投影长度乘以$\vec{V}$的长度，这样，有3种情况，$\vec{W}$的投影方向与$\vec{V}$相同、相反、垂直，对应点积+、-和0。

将其中一个向量例$\vec{V}$，看作是一种变成一维的变换（$\bar{i}$和$\bar{j}$都被压缩到一条直线）后的基向量，则点积是此时$\vec{W}$变换后的

长度，即坐标和：

首先简单一点，假定两个值$\vec{V}=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$，$\vec{W}=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right]$，$x$轴不动，$y$轴倒向$x$轴，$\vec{V}$是基向量，那么变换矩阵是$\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 0\end{array}\right]$。

$\vec{W}$变换后的向量为$\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right]$，由此可见矩阵乘法与点积的关系互通。

然后，难一点，$x$轴和$y$轴都向着$\vec{V}$投影，那么此时变换矩阵是多少呢？也即$\bar{i}$和$\bar{j}$的数值是多少？

原视频使用对偶性求得。简单假设$\vec{V}$为变化后的基向量$\bar{u}$，$\bar{j}$向$\bar{u}$投影等于，$\bar{u}$向$\bar{j}$，$\bar{u}$=$\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right]$如下图：

那么转换之后，$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$的长度就是 $u_{x}x+u_{y}y$。那么$\vec{V}$=$a\bar{u}$,也只是加了常数而已。

其实，不用对偶性，也可以证明：

如果$\bar{u}$是转换后的唯一基向量，因为长度为1，那么肯定是$\left[\begin{array}{c}cos\theta \\ sin\theta \end{array}\right]$对应的角度是$\theta$，那么$\vec{W}$的对应的坐标$w_x,w_y$在$\bar{u}$的投影分别

是$w_{x}cos\theta ,w_{y}sin\theta$。用三角形知识可以证明$\vec{W}$在$\bar{u}$的投影是$w_{x}cos\theta +w_{y}sin\theta$，假设$\vec{V}$的长度是$a$。

则$\vec{V}$·$\vec{W}$的长度=$a(w_{x}cos\theta +w_{y}sin\theta )$。转回来，因为$\bar{u}$，$\vec{V}=\left[\begin{array}{c}acos\theta \\ asin\theta \end{array}\right]$,那么点积

$\vec{V}$·$\vec{W}$=$\left[\begin{array}{c}acos\theta \\ asin\theta \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{w}_x\\ w_y\end{array}\right]$=$a{w}_{x}cos\theta +a{w}_{y}sin\theta$ ，看到没，皆大欢喜。附上渣渣手绘图。

08第一部分、叉积的标准介绍

叉积，产生一个新向量，长度等于两个向量的行列式，方向复合右手法则。

08第二部分、以线性变换的眼光看叉积

叉积的计算，在两个向量前加入一个基向量组，然后计算行列式

其性质如下：

求证思路如下：

这个过程并不是推理，而是检验，假设存在向量$\vec{P}$使基向量组转换成叉积的向量，那么下图的等式就证明叉积的几何意义？
主要证明的是$\vec{P}$与由$\vec{W}$和$\vec{V}$组成的平面垂直，也就是右手法则，这样才能组成行列式的体积！
这个对偶性，没啥好理解的了。