hdu5015 233Matrix(矩阵快速幂+思维)好题

本文深入解析了一道2014年ICPC区域赛的高难度题目,通过矩阵快速幂的方法解决了大规模数据下的计算问题,分享了解题思路及AC代码,对锻炼思维能力和提升解题技巧具有较高价值。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

https://vjudge.net/problem/HDU-5015
这题是一道2014icpc区域赛的题果然就是有难度,而且想法确实不错,这题的地推矩阵真的不好想,也是看了大佬的博客才理解的,总结了一点经验,算是学到了一点东西,锻炼了一下思维能力,:
参考了大佬的解题思路:
因为数据量很大,暴力求解肯定是不行的。必定超时,虽然给定的时间是5秒钟。
那接下来就是推公式了,而我最终也真的推出来个公式,但很遗憾,它只有当n和m相等的时候才成立,可是n最大才为10,这种思路也就被否定了。
既然给定的是一个矩阵的形式,难道可以用矩阵快速幂搞出来?可以试试。注意一点,如果能构造出来快速幂的话,也只有按列来推。
因为a[0][1]=233,a[0][2]=2333,a[0][3]=23333,…………,所以有a[0][i]=10*a[0][i-1]+3(i>1,a[0][1]=233)

如果令a[0][0]=23,那么a[0][i]=10*a[0][i-1]+3(i>0,a[0][0]=23)

则对于n+1行,m+1列的矩阵A,有
第一列,下标j = 0
在这里插入图片描述
第二列:
在这里插入图片描述
第三列:
在这里插入图片描述
对上述矩阵的各列适当变形得:

第一列(下标j=0)

在这里插入图片描述
第二列(下标j=1):
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
所以得出地推矩阵就是:
在这里插入图片描述
=在这里插入图片描述
这是AC代码:

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e7 + 7;
int n,m;
ll a[15];
struct matrix{
    ll a[15][15];
    matrix()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
};
matrix Matrix(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    for(int i = 1;i <= n + 2;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= n + 2;j++)
        {
            for(int k = 1;k <= n + 2;k++)
            {
                c.a[i][k] = (c.a[i][k] + a.a[i][j] * b.a[j][k]) % mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
matrix quick_pow(matrix A,ll x)
{
    matrix ans;
    for(int i = 1;i <= n + 2;i++)
    {
        ans.a[i][i] = 1;
    }
    while(x)
    {
        if(x&1)
        {
            ans = Matrix(ans,A);
        }
        A = Matrix(A,A);
        x/=2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF)
    {
       matrix A,B;
       A.a[1][1] = 23;
       for(int i = 1;i <= n;i++)
       {
           scanf("%lld",&A.a[i+1][1]);
       }
       A.a[n+2][1] = 3;
       for (int i = 1; i <= n + 1; i++)
			B.a[i][1] = 10;
		for (int i = 1; i <= n + 2; i++)
			B.a[i][n + 2] = 1;
		for (int i = 1; i < n + 2; i++)
			for (int j = 2; j <= i; j++)
				B.a[i][j] = 1;
        B = quick_pow(B,m);//这是地推矩阵
        A = Matrix(B,A);//这是最后称出来的的那个矩阵
        cout << A.a[n+1][1]%mod << endl;
    }
}

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