1616:A 的 B 次方

本文深入讲解了快速幂算法,一种高效计算大数幂次运算的方法。通过实例解析,阐述了如何利用快速幂算法解决abmodm的问题,适用于数据规模大的场景。文章提供了完整的C++代码实现,帮助读者理解算法细节。

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【题目描述】

给出三个整数 a,b,m,求 abmodm 的值。

【输入】

一行三个整数 a,b,m。

【输出】

一个整数,表示 abmodm 的值。

【输入样例】

2 100 1007

【输出样例】

169

【提示】

数据范围与提示:

对于全部数据,1≤a,b,m≤109 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod=200907;
ll quickpow(ll a,ll b){
    ll sum=1;
    while(b){
        if(b%2==1){
            sum=(sum*a)%mod;
        }
        b/=2;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return sum;
}
int main(){
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  freopen("output.txt","w",stdout);   
    ll a,b,c;
    scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&mod);
    printf("%lld",quickpow(a,b));
    return 0;
}
### 实现幂运算的方法 在多种编程语言中,可以使用不同的方式实现 \(a\) 的 \(b\) 次方的幂运算。以下是几种常见语言中的具体实现。 #### C# 中的幂运算 C# 提供了内置函数 `Math.Pow` 来计算幂运算,可以直接调用该方法完成 \(a^b\) 的计算[^1]。对于更高效的场景,也可以通过自定义快速幂算法来优化性能: ```csharp public static double Power(double baseNum, int exponent) { if (exponent == 0) return 1; bool isNegativeExponent = exponent < 0; long absExponent = Math.Abs((long)exponent); double result = 1; while (absExponent > 0) { if ((absExponent & 1) != 0) result *= baseNum; baseNum *= baseNum; absExponent >>= 1; } return isNegativeExponent ? 1 / result : result; } ``` 此代码实现了快速幂算法,能够有效减少乘法次数并提高效率。 --- #### Java 中的大数幂运算 Java 中可以通过 `BigDecimal` 或者 `BigInteger` 类型处理大数值范围内的幂运算。由于浮点精度问题,在涉及高精度需求时推荐使用 `BigDecimal` 和其配套方法[^2]。下面是一个基于 `BigInteger` 的例子: ```java import java.math.BigInteger; public class BigIntegerPowerExample { public static void main(String[] args) { BigInteger base = new BigInteger("2"); int power = 100; // 计算 2^100 System.out.println(base.pow(power)); // 输出结果 } } ``` 上述代码展示了如何利用 `BigInteger` 的 `.pow()` 方法轻松完成大规模整数的幂运算。 --- #### Python 中的幂运算 Python 原生支持高效的大整数幂运算,并提供了两种主要的方式来进行此类操作:一是直接运用双星号 (`**`) 运算符;二是借助于内置函数 `pow(a, b)` 完成相同功能。此外还存在第三个参数形式用于取模运算 `pow(a, b, mod)`[^3]。 ```python def fast_power_mod(a, b, m): res = 1 % m while b > 0: if b & 1: res = res * a % m a = a * a % m b >>= 1 return res print(fast_power_mod(2, 10, 1000)) # 结果为 24 ``` 这里展示了一个适用于加密领域(如 RSA 加密算法)的模幂运算版本。 --- #### 数学理论背景下的集合论应用 从纯数学角度出发,关系代数里的幂运算是指连续复合某个二元关系多次的结果表示。例如给定一个有限集上的二元关系矩阵,则可通过布尔矩阵相乘迭代得到更高阶的关系表达式[^4]。 \[ R^{n}=\underbrace {R\circ R\circ \dotsm \circ R}_{n{\text{ times}}}. \] 这种抽象概念虽然较少见诸实际编码实践之中,但在图论等领域有着广泛的应用价值。 ---
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