采样定理

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于 2019-03-15 10:05:54 发布

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分类专栏：数字信号处理

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一：引言

　　PC、FPGA和DSP只能对离散的数字信号进行计算，将连续的模拟信号进行AD采样变成数字信号，这样才能被后级处理。为了使采样后的信号可以无失真的恢复原始信号，采样速率应该取多少？采用何种采样方式？

二：低通模拟信号的采样定理

Nyquist采样定理：如果要从相等时间间隔抽取的采样数据中毫无失真的恢复原模拟信号，则采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的两倍。

假设有一个最大频率为 $f_{MAX}$ 的模拟信号 $f(t)$ ，其频谱为 $F(j\omega )$ ：

$\delta_{T} (t)$ 是周期为T的单位脉冲序列，时域及频域如图所示：

将模拟信号 $f(t)$ 和单位脉冲 $\delta_{T} (t)$ 相乘，相乘后所得的 $f_{s}(t)$ 就是采样信号，由一系列强度不同的间隔为T的冲击脉冲组成。这些脉冲的大小等于模拟信号 $f(t)$ 在对应时刻的采样值，所以 $f_{s}(t)=\sum f(kT)$ 。

根据频域卷积定理：时域相乘，频域相卷。即 $f_{s}(t)$ 的傅氏变换 $F_{s}(j\omega )$ 等于 $f(t)$ 傅氏变换与 $\delta_{T} (t)$ 的傅氏变换的卷积：

$\delta_{T} (t)$ 的傅氏变换：

这表明： $F[j(\omega -n\omega _{s})]$ 是模拟信号的频谱 $F(j\omega )$ 在频域上平移 $n\omega _{s}$ 的结果。原模拟信号的最高频率为 $f_{MAX}$ ， $f_{s}\geqslant 2f_{MAX}$ ，则 $F_{s}(j\omega )$ 中包含的各个原始模拟信号的频谱 $F(j\omega )$ 之间就不会发生频率混叠，就可以恢复原模拟信号的频谱，从而可以恢复出原始的模拟信号。

在工程中理想滤波器是不存在的，实际滤波器的截至边缘不可能做到理想滤波器那样陡峭，，所以实际应用中 $f_{s}$ 比 $2f_{MAX}$ 多大一些。

三：带通模拟信号的采样定理

在工程中，经常会碰到很多带通信号，其频率分布在带宽有限的频带 $(f_{L},f_{H})$ 上，并且其中心频率通常远远大于其带宽( $B=f_{H}-f_{L}$ )，如果还是根据 Nyquist 采样频率( $f_{s}\geqslant 2f_{H}$ )来计算，采样频率 $f_{s}$ 会非常大，甚至很难实现。为了解决这一难题，出现了带通采样定理。