01 背包（从二维数组到一维滚动数组）

问题描述：

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些)物品装入背包里物品价值总和最大。

二维dp数组01背包

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为[0-i] 任意组合放入背包后，背包容纳重量为j时的最大价值

2. 确定递推公式

有两个方向推出来dp[i][j]:

• 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。

  (其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)

• 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，
  那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]（物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

  • j - weight[i] ： 不装物品i时的容量
  • dp[i - 1][j - weight[i]] ：装i时前j - weight[i]容量的最大价值。

当i放进去时，那么这时候整个物品集就被分成两部分，1到i-1和第i个，而这时i是确定要放进去的，那么就把j空间里的weight[i]给占据了，只剩下j－weight[i]的空间给前面i－1，那么只要这时候前面i－1在j－weight[i]空间里构造出最大价值，即dp[i－1][j－weight[i]]，再加上此时放入的i的价值value[i]，就是dp[i][j]了

递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

dp[i][j] = max(不放物品，放物品)

不装i即需要到前i-1个里面选，也就是前**i-1行j背包容量下的最大价值**，由于前面都已经是最优解，直接取dp[i - 1][j]就是不装i条件下的最大价值

for (int i = 1; i < weight.size(); i++){
   	// 遍历物品
	for (int j = 1; j <= bagweight; j++){
   	// 遍历背包重量
		if (j < weight[i]) {
   	
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
		}
		else{
   	
			dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
		}
	}
}

为什么需要if (j < weight[i])?

因为：当j-weight[i] < 0时，数组会越界，即 dp[i - 1][j - weight[i]]会报错

3. dp数组如何初始化

从dp[i][j]的定义出发：

如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
如果i=0的情况就是只有