[动态规划] 矩阵最小路径和

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【题目描述】
    给定一个 n * m 的矩阵 a，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，输出所有的路径中最小的路径和。

输入描述
    第一行输入两个整数 n 和 m，表示矩阵的大小。
    接下来 n 行每行 m 个整数表示矩阵。

输出描述
    输出一个整数表示答案。

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示例1
    输入
    4 4
    1 3 5 9
    8 1 3 4
    5 0 6 1
    8 8 4 0
    输出
    12
备注
    1≤n,m≤2000
    0≤aij ≤100

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【代码实现 - CPP版】

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

    /*
     * 动态规划
     * 1. 确定可变参数：矩阵的两个维度 -- 一旦确定，其返回值即代表一个特定的最终状态
     * 2. 利用可变参数构建row * col二维数组dp[][]
     *    其中row取值范围：0, ..., n
     *       col取值范围：0, ..., m
     * 3. 确定最终状态:dp[n-1][m-1]
     * 4. 确定base case初始化二表: 矩阵的首行首列也即dp[0][...], dp[...][0]
     * 5. 找出其他位置的递推公式: dp[i][j] = min{dp[i][j-1], dp[i-1][j]} + vec_arr[i][j]
     * 6. 依据上述递推公式一次从第二行由左至右计算每个位置的值，返回右下角的值dp[n-1][m-1]
     */
int minPaths(const vector<vector<int>> vec_arr) {
    int row = vec_arr.size();
    int col = vec_arr[0].size();
    // ignore input params judgement

    vector<vector<int>> vec_dp(row, vector<int>(col, 0));
    // init base case
    vec_dp[0][0] = vec_arr[0][0];
    // the first row
    for (int i=1; i<col; i++) {
        vec_dp[0][i] = vec_dp[0][i-1] + vec_arr[0][i];
    }
    // the first column
    for (int j=1; j<row; j++) {
        vec_dp[j][0] = vec_dp[j-1][0] + vec_arr[j][0];
    }
    // other scerios
    for (int i=1; i<row; i++) {
        for (int j=1; j<col; j++) {
            vec_dp[i][j] = min(vec_dp[i][j-1], vec_dp[i-1][j]) + vec_arr[i][j];
        }
    }
    return vec_dp[row-1][col-1];
}


int main() {
    int m, n;
    cin >> n >> m;
    if ((1 > m || 2000 < m) || (1 > n || 2000 < n)) {
        cout << "Invalid input parameter(s)!" <<endl;
    }
    
    vector<vector<int>> vec(n, vector<int>(m, 0));
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            int tmp;
            cin>>tmp;
            vec[i][j] = tmp;
        }
    }
    cout << minPaths(vec) <<endl;
    
    return 0;
}