高等数学公式大全（一）

数列极限

章节概括

• 定义
• 性质
  • 唯一性
  • 有界性
  • 保号性
• 运算规则
• 夹逼准则
• 单调有界准则

定义

设 { x n } \{x_n\} {xn​}为一个数列，若存在常数a，对于任意的$\xi >0$（不论它多小），总存在正整数N，使得当$n>N$时，$|x_n-a|<\xi$恒成立，则称数a是 { x n } \{x_n\} {xn​}的极限，或者称数列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛于$a$，记为
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$
若不存在这样的常数a，就说数列 { x n } \{x_n\} {xn​}是发散的

常用的语言：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a\iff \forall \xi >0$,$\exists N\in N_{+}$,当$n>N$时，恒有$|x_n-a|<\xi$

性质

1. 唯一性：给出数列 { x n } \{x_n\} {xn​}，若${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$（存在），则a是唯一的
2. 有界性：若数列 { x n } \{x_n\} {xn​}极限存在，则数列 { x n } \{x_n\} {xn​}有界
3. 保号性：设数列 { a n } \{a_n\} {an​}存在极限a，且$a>0$（或$a<0$），则存在正整数N，当$n>N$时，有$a_n>0$（或$a_n<0$）
4. 推论：如果数列 { a n } \{a_n\} {an​}从某项起有$a_n\ge 0$，且${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$则$a\ge 0$

运算规则

设${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$，则

1. ${\lim }_{n\to \infty }(x_n\pm y_n)=a\pm b$
2. ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n{y}_n=ab$
3. 若$b\ne 0,y_n\ne 0$，则${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$

夹逼准则

如果数列 { x n } \{x_n\} {xn​}， { y n } \{y_n\} {yn​}及 { z n } \{z_n\} {zn​}满足下列条件

1. $y_n\le x_n\le z_n(n=1,2,3,\cdots )$
2. ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a$，${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$

则数列 { x n } \{x_n\} {xn​}的极限存在，且${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$

海涅定理

设函数$f(x)$在$x_0$的某去心领域内有定义

则${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$存在的充要条件是

对任一极限为$x_0$的数列$x_n(x_n\ne x_0)$，极限${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$存在

单调有界准则

如果数列 { x n } \{x_n\} {xn​}单调，并且有界，那么 { x n } \{x_n\} {xn​}必收敛，即${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$存在

如果数列 { x n } \{x_n\} {xn​}单调增有上界，那么 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛，即${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$存在

如果数列 { x n } \{x_n\} {xn​}单调减有下界，那么 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛，即${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$存在

证明单调常用方法

作差与0比较，即计算$x_{n+1}-x_n$，与0比较

如果$x_n>0$，也可以做商与1比较，即计算$\frac{x_{n+1}}{x_n}$与1比较

{x_n}的通项已知，为f(n)，则可设为f(x)，x>0。如果$f^{\prime }(x)\ge 0$,则数列单调递增；如果$f^{\prime }(x)\le 0$，则数列单调递减

数学归纳法

原视频：2021考研数学，秒懂数学归纳法_哔哩哔哩_bilibili

1. 验证结论成立，取n的首项带入f(n)
2. 假设$n=k$结论成立
3. 证明$n=k+1$结论成立

函数极限

章节概括

• 领域
• 定义
• 性质
  • 唯一性
  • 局部有界性
  • 局部保号性
• 运算规则
• 夹逼准则
• 洛必达法则
• 泰勒公式
  • 公式
  • 展开原则
• 归结原则
• 无穷小比阶
• 连续与间断
  • 连续点的定义
  • 间断点的定义与分类

定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心领域内有定义。

若存在常数A，对于任意给定的$ϵ>0$（不论它多小），总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<ϵ$

则A就叫作函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记为
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(x\to x_0)$$
写成"$ϵ-\delta$"语言
$$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,当0<|x-x_0|<\delta 时,有|f(x)-A|<ϵ$$

函数连续性

设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一领域内有定义，如果
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$
那么称函数$f(x)$在点$x_0$连续。

若${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$右连续

若${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=f(x_0)$,则称$f(x)$在$x_0$左连续

性质

1. 唯一性：若极限存在，那么极限唯一
2. 局部有界性：如果${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，则存在正常数M和$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|\le M$
3. 局部保号性：如果$f(x)\to A(x\to x_0)$，且$A>0$(或$A<0$)，那么存在常数$\delta >0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$f(x)>0$（或$f(x)<0$）

极限运算法则

若$\lim f(x)=A$,$\lim g(x)=B$
$$\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)$$

$$lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)$$

$$\lim Cf(x)=C\lim f(x),C为常数$$

$$lim[f(x){]}^n=[\lim f(x){]}^n$$

$$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)},\lim g(x)\ne 0$$

洛必达法则

法则一：

1. 当$x\to a$（或$x\to \infty$）时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于零
2. $f^{\prime }(x)$及$F^{\prime }(x)$在点a的某去心领域内（或当|x| > X，此时X为充分大的正数）存在，且$F^{\prime }(x)\ne 0$
3. ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$或${\lim }_{x\to \infty }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$存在或无穷大

则：
$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}或\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$$
法则二：

1. 当$x\to a$（或$x\to \infty$）时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于无穷大
2. $f^{\prime }(x)$及$F^{\prime }(x)$在点a的某去心领域内（或当|x| > X，此时X为充分大的正数）存在，且$F^{\prime }(x)\ne 0$
3. ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$或${\lim }_{x\to \infty }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$存在或无穷大

则：
$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}或\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$$

夹逼准则

如果函数$f(x)$，$g(x)$及$h(x)$满足下列条件

1. $g(x)\le f(x)\le h(x)$
2. ${\lim }_{n\to \infty }g(x)=a$，${\lim }_{n\to \infty }h(x)=a$

则函数$f(x)$的极限存在，且${\lim }_{n\to \infty }f(x)=a$

函数间断点

• 第一类间断点（左右极限都存在，设$x_0$是$f$的间断点）

  • 可去间断点（左极限 = 右极限）

  $$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=li{m}_{x\to x_0^{+}}f(x)\ne f(x0)\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$$

  • 跳跃间断点（左极限 != 右极限）

  $$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$$

• 第二类间断点：左极限或者右极限不存在，除第一类间断点之外的间断点

由于初等函数在其定义区间上连续，故间断点只可能出现在：

1. 分段函数的分段点处
2. 初等函数无定义的点（分母=0处）

所以有以下判断间断点步骤：

1. 找出所有可能的间断点
2. 逐个点计算其左极限、右极限，再判断其类型。

无穷小比阶

定义

如果当$x\to x_o$（或$x\to \infty$）时，函数$f(x)$的极限为零

那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷小，记为
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0或\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$$
特别地，以零为极限的数列 { x n } \{x_n\} {xn​}称为$n\to \infty$时的无穷小

当${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$或${\lim }_{x\to \infty }f(x)=\infty$时，称函数$f(x)$为当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷大

高阶无穷小

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$$

称当$x\to x_0$时,$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小量，记作：$f(x)=o(g(x))(x\to x_0)$

低阶无穷小

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$$

称$f(x)$是$g(x)$的低阶无穷小量

同阶无穷小量

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c(c\ne 0)$$

称$f(x)$与$g(x)$为$x\to x_0$时的同阶无穷小

当$x\to 0$时的同阶无穷小量：

• $1-cosx$与$\frac{1}{2}{x}^2$
• $tanx-x$与$\frac{x^3}{3}$

等价无穷小

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$$

称$f(x)$与$g(x)$为$x\to x_0$时的等阶无穷小

当$x\to 0$时，常用的等价无穷小：

• $sin\sim x$
• $tanx\sim x$
• $arcsinx\sim x$
• $arctanx\sim x$
• $arctanx\sim x$
• $\ln (x+1)\sim x$
• $e^x-1\sim x$
• $1-cosx\sim \frac{x^2}{2}$
• $sin{x}^2\sim x^2$
• $x\to 1,sin(x-1)\sim x-1$
• $x\to \pm 3:sin(x^2-9)\sim x^2-9$
• $sin(sinx)\sim sinx$

整体乘除可换，加减有的凑巧可以，有的不行

等价无穷小后最低次项不能完全抵消，eg：$x-sinx\ne x-x$

两个重要极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e，\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

拉格朗日求极限

$$利用f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$

$$sin(x+1)-sinx=cos\xi \cdot (x+1-x)$$

一元函数微分学

章节概括

• 概念
  • 导数的概念
  • 微分的概念
• 导数与微分的计算
  • 四则运算
  • 分段函数的导数
  • 复合函数的导数与微分形式不变性
  • 反函数的导数
  • 参数方程所确定的函数的导数
  • 隐函数求导法
  • 对数求导法
  • 幂指函数求导法
  • 高阶导数
    • 归纳法
    • 莱布尼茨公式
    • 泰勒公式
  • 变限积分求导公式
  • 基本求导公式

导数的概念

$$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{array}$$

$$可记作y^{\prime }{|}_{x=x_0}或\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}或\frac{d[f(x)]}{dx}{|}_{x=x_0}$$

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x)$$

单侧导数

左导数
$$\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}，记为f_{-}^{\prime }(x_0)$$
右导数
$$\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}，记为f_{+}^{\prime }(x_0)$$
函数在点$x_0$可导的充分必要条件是左导数与右导数均存在并相等

微分的概念

设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某领域内有定义，且$x_0+\Delta x$在该领域内，对于函数增量
$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$
若存在与$\Delta x$无关的常数$A$，使得$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$

其中$o(\Delta x)$是在$\Delta x\to 0$时比$\Delta x$更高阶的无穷小，则称$f(x)$在点$x_0$处可微，并称$A\Delta x$为$f(x)$在点$x_0$处的微分，记作$dy{|}_{x=x_0}=A\Delta x$或者$d[f(x)]{|}_{x=x_0}=A\Delta x$

又由于$\Delta x=1\cdot \Delta x+0$，于是一元函数微分学中规定$\Delta x=dx$，故
$$dy{|}_{x=x_0}=Adx$$
可微的判别：

1. 写增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$
2. 写线性增量$A\Delta x=f^{\prime }(x)\Delta x$
3. 作极限${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y-A\Delta x}{\Delta x}$

导数公式

$$C^{\prime }=0$$

$$(x{)}^{\prime }=1$$

$$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

$$(sinx{)}^{\prime }=cosx$$

$$(cosx{)}^{\prime }=-sinx$$

$$(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$$

$$(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x$$

$$(secx{)}^{\prime }=secxtanx$$

$$(cscx{)}^{\prime }=-cscxcotx$$

$$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$(a^x)=a^{x}Ina$$

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$

$$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xIna}$$

$$(Inx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

$$(acrsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

$$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$

导数运算

四则运算

$u=u(x)，v=v(x)$
$$(Cu{)}^{\prime }=Cu\prime (C是常数)$$

和、差的导数（微分）
$$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime },d(u\pm v)=du\pm dv$$

积的导数（微分）
$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime },d(uv)=vdu+udv$$

商的导数（微分）
$$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0,d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}(v\ne 0)$$

分段函数

$$设f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x)& x\ge x_0\\ f_2(x)& x<x_0\end{array}，其中f_1(x)与f_2(x)可导$$

1. 在分段点处用导数定义求导，判断左导数是否等于右导数可判定是否可导，若可导得出导数结果
2. 在非分段点用导数公式求导，即$x>x_0$时，$f^{\prime }(x)=f_1^{\prime }(x)$；$x<x_0$时，$f^{\prime }(x)=f_2^{\prime }(x)$

反函数的导数

设$y=f(x)$可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$，则存在反函数$x=\phi (y)$，且$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$，即$\phi (y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

一元函数微分学的几何应用

章节概括

• 极值与最值的概念
  • 极值的概念
  • 最值的概念
• 单调性与极值的判别
  • 单调性判别
  • 判极值的必要条件
  • 判极值的第一充分条件
  • 判极值的第二充分条件
  • 判极值的第三充分条件
• 凹凸性与拐点的概念
  • 凹凸性
  • 拐点
• 凹凸性与拐点的判别
  • 凹凸性判别
  • 判拐点的必要条件
  • 判拐点的第一充分条件
  • 判拐点的第二充分条件
  • 判拐点的第三充分条件
• 渐近线
  • 铅垂渐近线
  • 水平渐近线
  • 斜渐近线
• 最值或取值范围
  • 在闭区间[a,b]上求
  • 在开区间(a,b)上求
• 做函数图形

极值和最值

若存在$x_0$的某个领域，使得在该领域内任意一点$x$，均有
$$f(x)\le f(x_0)(或f(x)\ge f(x_0))$$
成立，则称$x_0$为$f(x)$的广义的极大值点（或极小值点），$f(x_0)$为$f(x)$的广义的极大值（或极小值）

若存在$x_0$的某个去心领域，使得在该领域内任一异于$x_0$的点$x$，均有
$$f(x)<f(x_0)(或f(x)>f(x_0))$$
成立，则称$x_0$为$f(x)$的真正的极大值点（或极小值点），$f(x_0)$为$f(x)$的真正的极大值（或极小值）

设$x_0$为$f(x)$定义域内一点，若对于$f(x)$的定义域内任意一点$x$，均有
$$f(x)\le f(x_0)(或f(x)\ge f(x_0))$$
成立，则称$f(x_0)$为$f(x)$的广义的最大值（或最小值）

设$x_0$为$f(x)$定义域内一点，若对于$f(x)$的定义域内任一异于$x_0$的点$x$，均有
$$f(x)<f(x_0)(或f(x)>f(x_0))$$
成立，则称$f(x_0)$为$f(x)$的真正的最大值（或最小值）

单调性与极值的判别

单调性的判别

若$y=f(x)$在区间$I$上有$f^{\prime }(x)>0$，则$y=f(x)$在$I$上严格单调增加

若$y=f(x)$在区间$I$上有$f^{\prime }(x)<0$，则$y=f(x)$在$I$上严格单调减少

一阶可导点是极值点的必要条件

设$f(x)$在$x=x_0$处可导，且在点$x_0$处取得极值，则必有$f^{\prime }(x_0)=0$

判别极值的第一充分条件

设$f(x)$在$x=x_0$处连续，且在点$x_0$的某去心领域$U(x_0+\delta )(\delta >0)$内可导

若$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f^{\prime }(x)<0$，而$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$x=x_0$处取得极小值

若$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f^{\prime }(x)>0$，而$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$x=x_0$处取得极大值

若$f^{\prime }(x)$在$(x_0-\delta ,x_0)$和$(x_0,x_0+\delta )$内不变号，则点$x_0$不是极值点

判别极值的第二充分条件

判别极值的第三充分条件

凹凸性与拐点

设函数$f(x)$在区间$I$上连续，如果对$I$上任意不同两点$x_1,x_2$，恒有
$$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$
则称$y=f(x)$在$I$上的图形是凹的（或凹弧）

设函数$f(x)$在区间$I$上连续，如果对$I$上任意不同两点$x_1,x_2$，恒有
$$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$
则称$y=f(x)$在$I$上的图形是凸的（或凸弧）

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连续曲线的凹弧与凸弧的分界点成为该曲线的拐点

曲线曲率

$$设曲线y=f(x)$$

$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$$

$$设曲线是由参数方程\{\begin{array}{l}x=\alpha (t)\\ y=\beta (t)\end{array}$$

$$K=\frac{|{\alpha }^{\prime }(t){\beta }^{\prime \prime }(t)-{\alpha }^{\prime \prime }(t){\beta }^{\prime }(t)|}{[{\alpha }^{\prime 2}(t){\beta }^{\prime 2}(t){]}^{\frac{3}{2}}}$$

莱布尼茨公式

$$若函数是两个函数的乘积，即f=uv,则$$

$$f^{(n)}=(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$$

中值定理

有界与最值定理

设$f(x)$在$[a,b]$上连续
$$m\le f(x)\le M$$

m、M分别为$f(x)$在$[a,b]$上的最小值与最大值

介值定理

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，当$m\le \mu \le M$，存在$\xi \in [a,b]$，使得$f(\xi )=\mu$

平均值定理

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，当$a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b$时，在$[x_1,x_n]$内至少存在一点$\xi$，使得
$$f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$$

积分中值定理

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，存在$\xi \in [a,b]$，使得
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的平均值为
$$A=\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}$$

达步定理（导函数介值定理）

设f(x)在[a,b]内可导，若$f_{+}^{\prime }(a)\ne f_{-}^{\prime }(b)$，则对$\forall k$介于$f_{+}^{\prime }(a)$与$f_{-}^{\prime }(b)$之间，总$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime }(\xi )=k$

费马定理

设$f(x)$满足在点$x_0$处可导并取极值，则$f^{\prime }(x_0)=0$

罗尔定理

设$f(x)$满足在$[a,b]$处连续、在$(a,b)$可导，并且$f(a)=f(b)$，则存在$\xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime }(\xi )=0$

罗尔定理常用辅助函数构造方法

$$x{f}^{\prime }(x)+nf(x)=0\to F(x)=x^{n}f(x)$$

$$\alpha f^{\prime }(x)+\beta f(x)=0\to F(x)=e^{\frac{\beta }{\alpha }x}f(x)$$

$$f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)f(x)=0\to F(x)=e^{g(x)}f(x)$$

$$f^{\prime }(x)+g(x)f(x)=0\to F(x)=e^{{\int }_{\alpha }^{x}g(t)dt}f(x)$$

$$f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)=c\to F(x)=e^x[f^{\prime }(x)-c]$$

拉格朗日中值定理

设$f(x)$满足在$[a,b]$处连续、在$(a,b)$可导，则存在$\xi \in (a,b)$，使得
$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$
或者
$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

柯西中值定理

设$f(x)$满足在$[a,b]$处连续、在$(a,b)$可导，则存在$\xi \in (a,b)$，使得
$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$
其中$g^{\prime }(\xi )\ne 0$

泰勒公式

$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

$$拉格朗日型余项:R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

$$佩亚诺型余项:R_n(x)=o[(x-x_o{)}^n]$$

常见的麦克劳林公式

$$\frac{1}{1-x}=1+x+\cdots +x^n+o(x^n)$$

$$In(1+x)=x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^n}{n}+o(x^n)$$

$$In(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$$

$$In(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n+o(x^n)$$

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)$$

$$e^x=1+x+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

$$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}+o(x^{2n})$$

$$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}+o(x^{2n+1})$$

$$arctanx=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots +\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}+o(x^{2n+1})$$

$$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

零点问题与微分不等式

零点定理

$f(x)$在$[a,b]$连续，且$f(a)f(b)<0$，则至少有一点$\xi \in (a,b)$，使$f(\xi )=0$

零点定义：如果$x_0$使得$f(x_0)=0$，就称$x_0$为函数$f(x)$的零点（或称$x_0$为方程$f(x)=0$的根）

零点问题

主要证明根的存在性

若$f(x)$在$[a,b]$连续，且$f(a)f(b)<0$，则$f(x)=0$在$(a,b)$内至少有一个根

单调性

主要证明根的唯一性

若$f(x)$在$(a,b)$内单调，则$f(x)=0$在$(a,b)$内至多有一个根，这里a，b可以是有限数，也可以是无穷大

罗尔定理的推论

若$f^{(n)}(x)=0$至多有k个根，则$f(x)=0$至多有$k+n$个根

实系数奇次方程$x^{2n+1}+a_1{x}^{2n}+\cdots +a_{2n}x+a_{2n+1}=0$至少有一个实根

微分不等式

用函数性态（包括单调性、凹凸性和最值等）证明不等式

一般地，使用如下依据

1. 若有$f^{\prime }(x)\ge 0,a<x<b$，则有$f(a)\le f(x)\le f(b)$
2. 若有$f^{"}(x)\ge 0,a<x<b$，则有$f^{\prime }(a)\le f^{\prime }(x)\le f^{\prime }(b)$
   1. 当$f^{\prime }(a)>0$时，$f^{\prime }(x)>0\to f(x)$单调增加
   2. 当$f^{\prime }(a)<0$时，$f^{\prime }(x)<0\to f(x)$单调减少
3. 设$f(x)$在$I$内连续，且有唯一的极值点$x_0$，则
   1. 当$x_0$为极大值点时，$f(x_0)\ge f(x)$
   2. 当$x_0$为极小值点时，$f(x_0)\le f(x)$
   3. $\forall x\in I$
4. 若有$f^{"}(x)>0,a<x<b,f(a)=f(b)=0$，则有$f(x)<0$

常数变量化证明不等式

不等式中都是常数，则可以将其中一个或者几个常数变量化，再使用上述导数工具证明

中值定理证明不等式

主要使用拉格朗日中值定理或者泰勒公式