338. 比特位计数

题目描述：

给你一个整数 n ，对于 0 <= i <= n 中的每个 i ，计算其二进制表示中 1 的个数 ，返回一个长度为 n + 1 的数组 ans 作为答案。

示例 1：

输入：n = 2
输出：[0,1,1]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
示例 2：

输入：n = 5
输出：[0,1,1,2,1,2]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101
 

提示：

0 <= n <= 105
 

进阶：

很容易就能实现时间复杂度为 O(n log n) 的解决方案，你可以在线性时间复杂度 O(n) 内用一趟扫描解决此问题吗？
你能不使用任何内置函数解决此问题吗？（如，C++ 中的 __builtin_popcount ）

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/counting-bits
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分析：

        这道题比较简单，观察测试用例可以知道，是可以使用dp的。关键点在于，每次当i到达2的整数次幂（即i=1，i=2，i=4，i=8，i=16.....），此时i的二进制表示中，只有一个1。其他情况下，我们可以通过dp[i]=dp[i-pow(2,base)]+1来计算。

        例如，i=17时，dp[17]=dp[16]+dp[1]，16是2的4次方，因此16中只有一个1，即dp[16]=1。

而dp[1]之前已经计算过了，因此通过递推公式，就可以找到全部的答案。

详细分析请看题解：https://leetcode-cn.com/problems/counting-bits/solution/bi-te-wei-ji-shu-by-leetcode-solution-0t1i/

代码如下：

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        // base用来存储当前i能够到达的最大2的base次方
        // 例如，i=17，则最大的2的次方为4，2^4=16，因此base=16
        int base=0;
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            // 计算2的base次方
            int k=pow(2,base);
            // 如果i刚好为2的base次方 则i中只有一个1
            if(i%k==0)
            {
                dp[i]=1;
                base++;
                continue;
            }
            // 如果i比2的base次方要大，那么根据递推公式，dp[i]=1+dp[i-lastk]
            else
            {
                int lastk=pow(2,base-1);
                dp[i]=1+dp[i-lastk];
            }
        }
        return dp;
    }
};

 

 看了看题解的答案，确实比我的要简洁很多，可以参考下。其中重要的就是可以利用i&(i-1)==0来判断i是否为2的整数次幂，这个真的是想不到。

代码如下：

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        // max_2_power代表当前i所能表示的最大的2的整数次幂 例如 i=17，则最大的2的整数次幂，即max_2_power为16
        int max_2_power=0;
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
           
            if((i&(i-1))==0)
            {
                dp[i]=1;
                max_2_power=i;
            }
            else
                dp[i]=1+dp[i-max_2_power];
            
        }
        return dp;
    }
};

tips:

vector的几种初始化方法：

1.vector<int> list; 默认初始化，最常用

2.vector<int> list={1,2,3,4,5,6,7}; 初始化list为{1,2,3,4,5,6,7}这7个元素

3.vector<int> list(7); 初始化list为7个元素的大小

4.vector<int> list(7,1);初始化list为7个元素，每个元素大小为1