[Pro]斐波那契数列阿【斐波那契数列】

最新推荐文章于 2021-01-21 12:59:08 发布

曹老师阿

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分类专栏：数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43061009/article/details/82425748

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该博客讨论了一道关于斐波那契数列的问题，要求求解f(f(x))对1e9 + 7取模的结果。博主强调了解题的关键在于找到循环节，并使用矩阵快速幂实现斐波那契数列的高效率计算。预处理循环节T1和T2是解决此问题的重点。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Pro

设 $f(x)$ 表示斐波那契数列的第x项。求 $f(f(x))$ 对 $1e9+7$ 取模的答案。其中 $x≤10^{100}$ 。

Sol

本题的代码实现真的不难，难就难在了思路和预处理。

分析：我们令 $t=f(x)$ ，那么题目转化为求 $f(t)$ 对 $1e9+7$ 取模的值。考虑取模，取模后肯定会产生一个类似循环节的东西，所以求 $f(t)$ 对 $1e9+7$ 取模的值的循环节，记为 $T1$ 。求出来之后再返回去，求 $f(x)$ 的循环节，记为 $T2$ ， $f(x)≤T1$ ，此时应取模 $T1$ 求得 $T2$ 。最后问题转化为：求 $f(f(x%T2)%T1)%(1e9+7)$ 的值。因为 $x$ 的范围很大，所以考虑高精度取模。

预处理：其实需要预处理的只是 $T1$ 和 $T2$ ，因为由题目可知， $T1$ 和 $T2$ 为常数(不随 $x$ 变化而变化)。

下面代码是矩阵快速幂的斐波那契数列(一次操作 $O(logn)$ )。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<set>
#include<string>
#define LL long long
using namespace std;

struct Ju1 {
    LL x , y;
};
struct Ju2 {
    LL x1 , x2 , x3 , x4;
};
const LL mod = 1e9+7;
LL T1 = 2000000016 , T2 = 32916;
string n;
Ju1 dw1;
Ju2 dw2 , dw3;

Ju2 mul(Ju2 x , Ju2 y) {
    Ju2 t;
    t.x1 = (x.x1 * y.x1 % mod + x.x2 * y.x3 % mod) % mod;
    t.x2 = (x.x1 * y.x2 % mod + x.x2 * y.x4 % mod) % mod;
    t.x3 = (x.x3 * y.x1 % mod + x.x4 * y.x3 % mod) % mod;
    t.x4 = (x.x3 * y.x2 % mod + x.x4 * y.x4 % mod) % mod;
    return t;
}

Ju1 qmul(Ju2 x , Ju1 y) {
    Ju1 t;
    t.x = (x.x1 * y.x % mod + x.x2 * y.y % mod) % mod;
    t.y = (x.x3 * y.x % mod + x.x4 * y.y % mod) % mod;
    return t;
}

Ju2 qpow(Ju2 x , int y) {
    if(y == 0)
        return dw3;
    Ju2 t = qpow(x , y/2);
    if(y%2 == 0)
        return mul(t , t);
    return mul(mul(t , t) , dw2);
}

LL fib(LL x) {
    if(x == 1)
        return 1;
    Ju1 t = qmul(qpow(dw2,x-2) , dw1);
    return t.x % mod;
}

void init() {
    dw1.x = 1 , dw1.y = 1;
    dw2.x1 = dw2.x2 = dw2.x3 = 1 , dw2.x4 = 0;
    dw3.x1 = dw3.x4 = 1 , dw3.x2 = dw3.x3 = 0;
}

LL qmod(string s , LL x) {
    LL d = 0;
    for(int i=0; i<s.size(); i++)
        d = (d*10 + (s[i]-'0'))%x;
    return d;
}

int main() {
    cin>>n;
    init();
    printf("%lld",fib(fib(qmod(n,T2))%T1)%mod);
    return 0;
}