机器人传感器网络的覆盖优化和空间负载均衡

\qquad文中主要研究具有区域约束的机器人网络执行静态最优覆盖。给定密度函数描述事件发生的概率，执行函数($performancefunction$)代表到定位点的代价。目标是通过合理放置传感器使最小化探测代价。此外，由于平衡负载约束，预先设定给每个机器人的分配的区域。

一般性泰森分区(Generalized Voronoi Partitions)

\qquad 对于凸多边形$Q\subset {\mathbb{R}}^d$和$P=(p_1,p_2,...,p_n)\in Q^n$，泰森分区为V(P)={V1(P),...,Vn(P)}\mathcal{V}(P)=\{V_{1}(P),...,V_{n}(P)\}V(P)={V1​(P),...,Vn​(P)}，定义$Delaunaygraph$，对于相邻端点$p_i和p_j$如果$V_i(P)\cap V_j(P)̸=\varphi$，给定性能函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$严格递增，给定权重$\omega =({\omega }_1,...,{\omega }_n)\in {\mathbb{R}}^n$，得出一般性泰森分区公式为：
Vif(P,ω)={q∈Q∣f(∣∣q−pi∣∣)−ωi≥f(∣∣q−pj∣∣)−ωj,i≠j} V_{i}^{f}(P,\omega)=\{q\in Q|f(||q-p_{i}||)-\omega_{i}\ge f(||q-p_{j}||)-\omega_{j},i\ne j\} Vif​(P,ω)={q∈Q∣f(∣∣q−pi​∣∣)−ωi​≥f(∣∣q−pj​∣∣)−ωj​,i̸​=j}一般的，一般化泰森分区既不是凸区域也不是星形。

区域约束下的定位最优问题

\qquad考虑区域约束条件多中心最优化问题，即在多中心最优问题($minimize\mathcal{H}(p_1,...,p_n,W_1,...,W_n)$)中增加可行域条件约束($a_i$)。给定可行域集{a1,...,an}⊂R>0\{a_{1},...,a_{n}\}\subset\mathbb{R}_{>0}{a1​,...,an​}⊂R>0​满足${\sum }_{i=1}^n{a}_i={\int }_Q\varphi (q)dq=are{a}_{\varphi }(Q)$。即：
minimizeH(p1,...,pn,W1,...,Wn)subject to∫Wiϕ(q)dq=ai,i∈{1,...,n} minimize\quad\mathcal{H}(p_{1},...,p_{n},W_{1},...,W_{n})\\ subject\ to\quad \int_{W_{i}}\phi(q)dq=a_{i},i\in\{1,...,n\} minimizeH(p1​,...,pn​,W1​,...,Wn​)subject to∫Wi​​ϕ(q)dq=ai​,i∈{1,...,n}等分域情形为ai=1/n∫Qϕ(q)dq for i∈{1,...,n}a_{i}=1/n\int_{Q}\phi(q)dq\ for\ i\in\{1,...,n\}ai​=1/n∫Q​ϕ(q)dq for i∈{1,...,n}。

基于一般化泰森分区的权重-区域映射

\qquad定义权重-区域映射为$\mathcal{M}:U\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$：
$$\mathcal{M}(\omega )=({\int }_{V_1^f(P,\omega )}\varphi (q)dq,...,{\int }_{V_n^f(P,\omega )}\varphi (q)dq)$$其中，P={p1,...,pn}P=\{p_{1},...,p_{n}\}P={p1​,...,pn​}。令$\mathcal{M}$为梯度，$\nabla F=-\mathcal{M}$($？？？$)，其中$F:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$
$$F(\omega )=\sum _{j=1}^n{\int }_{V_j^f(P,\omega )}(f(||q-p_j||)-{\omega }_j)\varphi (q)dq$$\qquad若通过配置权值${\omega }_i$使得$\mathcal{M}({\omega }_i)=a_i$，几乎不能直接求解映射的解析解，使用的方法为：定义函数$g({\omega }_1,...,{\omega }_n)=\mathcal{M}({\omega }_1,...,{\omega }_n)-(a_1,...,a_n)$，其原函数为：$\mathcal{F}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,\mathcal{F}=-F(\omega )-{\sum }_{i=1}^n{\omega }_i{a}_i$。寻找$\omega \in U$，使得：
$$\nabla \mathcal{F}(\omega )=g(\omega )=0(vector{)}_n$$\qquad所寻找的$\omega$即优化函数$\mathcal{F}$(多中心最优化问题$？？？$)又使得泰森区域满足约束条件。$使用雅克比(Jacobi)迭代算法配置权重。$
\qquad雅克比算法(生成线性方程的$JOR$算法)
$$x(t+1)=x(t)-\gamma [D(x(t)){]}^{-1}\nabla F(x(t))$$\qquad其中，$\gamma$是步长，$D(x)$是对角矩阵，其第i个对角元素为${\nabla }_{ii}^{2}F(x)$，假设其对角元素都是非零元素。
\qquad应用雅克比算法迭代权值为：
$${\omega }_{k+1}={\omega }_k-\gamma diag(\frac{\partial g_1}{\partial {\omega }_1}({\omega }_k),...,\frac{\partial g_n}{\partial {\omega }_n}({\omega }_k){)}^{-1}g({\omega }_k)$$\qquad $使用质量守恒(conservation-of-mass)定理$求解：
$$\frac{\partial g_i}{\partial {\omega }_j}={\int }_{\partial V_i}\varphi n_i\frac{\partial q}{\partial {\omega }_j}dq$$