B1016. 部分A+B(15)

本文详细解析了B1016.部分A+B算法题目的实现思路,介绍了如何通过枚举每一位的方法,找出由给定整数A、B中特定数字组成的新的整数P_A和P_B,并计算它们的和。文章提供了C++代码示例,展示了如何处理大整数的计算,避免溢出问题。

B1016. 部分A+B(15)

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题目描述

正整数A的“D_A(为1位整数)部分”,定义为由A中所有的、D_A组成的新整数P_A.例如:给定A=3862767,D_A=6,则A的“6部分”P_A是66,因为A中有两个6.
现给出A、D_A、B、D_B,请编写程序计算P_A+P_B.

输入格式

在一行中依次输入A、D_A、B、D_B,中间以空格分隔,其中0<A,B<1010

输出格式

在一行中输出P_A+P_B的值。

输入样例1

3862767 6 13530293 3

输出样式1

399

输入样例2

3862767 1 13530293 8

输出样式2

0

注意点

  1. 由于题目中给的范围是1010以内,这个范围是超过了int的,因此需要使用 long long 来存放A和B。不过也可以用字符串来存贮A和B,方法其实都是一样的。

参考代码

//c++代码:    include <iostream>   
 using namespace std;
 int main(){   
 	long long a,b,da,db;    
 	cin>>a>>da>>b>>db;
    long long pa=0,pb=0;   
    while(a!=0){  						//枚举a的每一位
   		if(a%10==da)pa = pa*10+da;//如果当前位是da,给pa增加一位da;
   		a=a/10;
	}
  	while(b!=0){						//枚举b的每一位
  	 	if(b%10==db)pb = pb*10+db;//如果当前位是db,给pb增加一位db;
   		b=b/10;
    	}    
    cout<<pa+pb;    
    return 0;   
}
<think>好的,我现在需要解决用户的问题,即如何用C语言实现计算公式$(1^b +2^b+ ...+ a^b) \mod10000$的值。首先,我得理解这个问题的具体要求,然后思考如何高效地实现它。用户提到输入输出要求,虽然具体格式没有给出,但通常这类问题会给定多组输入的a和b,然后输出对应的余数。我需要考虑如何处理大数运算,因为当b很大时,计算$a^b$可能会超出常规数据类型的范围,导致溢出。因此,直接计算每个项的幂再累加显然不可行,必须找到一种方法在计算过程中保持数值在可控范围内。首先,我想到了模运算的性质:$(x+ y) \mod m= [(x \mod m) +(y\modm)]\modm$,以及乘法类似的性质。因此,可以在每次计算$i^b$时都进行模运算,避免数值过大。但问题在于如何高效计算$i^b\mod10000$,尤其是当b很大时,直接循环相乘会非常耗时。这里可能需要快速幂算法,即通过二分法减少乘法的次数。快速幂的时间复杂度是$O(\log b)$,相比普通的$O(b)$方法更高效。例如,计算$i^b$时,可以将b分解为二进制形式,逐位计算,从而减少乘法次数。接下来,我需要将每个$i$从1到a分别计算其b次幂模10000,然后将这些结果累加起来,再取模。这个过程的时间复杂度主要取决于a的大小和每个幂的计算时间。假设a的最大值较大(比如1e5或更高),那么快速幂的使用就显得尤为重要。 但是,假设题目中的a和b的范围在合理范围内,比如a不超过1e4,b不超过1e4,那么这样的方法应该是可行的。不过,如果a和b都很大,可能需要进一步的优化,比如预处理或数学公式来简化计算。 另一个考虑点是,对于每个i,计算i^bmod10000,可能有重复计算的情况,比如当i的末尾四位相同时,模运算结果可能相同。但这种情况可能并不常见,所以可能不需要特别处理。 现在,我需要编写代码的大致结构: 1.读取输入a和b。2.初始化总和为0。3.对于每个i从1到a:a.计算i^b mod10000。b.将这个结果加到总和中,并立即对总和取模10000,防止溢出。 4.输出总和mod10000的结果。其中,关键部分是实现快速幂函数来计算i^b mod10000。快速幂函数的实现需要使用循环或递归,将指数b分解为二进制,每次平方底数并取模,根据当前二进制位是否为1决定是否乘到结果中。例如,计算i^b modmod_value(这里mod_value是10000)的函数: ```cint fast_pow(int base, intexp, intmod){int result=1;base%=mod;while(exp>0){if (exp %2==1){result =(result* base) %mod;}base= (base *base)% mod;exp /=2;}return result; }``` 然后,在主循环中,对每个i调用这个函数,累加结果。需要注意的是,当mod为10000时,即使i的值很大,先对i取模可以进一步优化,因为i^bmod10000等于(imod10000)^bmod10000。因此,可以将i先mod10000,减少计算量。例如,当i=10001时,i mod10000=1,所以10001^b mod10000=1^b mod10000=1。这样可以显著减少计算时间,尤其是当a很大时。 不过,这里是否需要这样做取决于a的范围。如果a可能非常大(比如超过1e6),这样的优化就非常有用。但如果a的范围较小,比如不超过1e4,可能优化效果不明显。但无论如何,这样的优化是值得做的,因为代码改动不大,却能提升性能。因此,修改后的步骤是:对于每个i从1到a:a.计算(i%10000)得到base。b.如果base为0,则i^bmod10000的结果为0(当b>=1时)。c.否则,计算base^bmod10000。这样,当i超过10000时,可以重复利用模运算的结果,减少计算量。例如,i=10005,base=5,计算5^bmod10000即可。接下来,考虑当base为0的情况,此时不管指数是多少,结果都是0(只要指数>=1)。因此,在代码中需要处理这种情况,避免进入快速幂函数,直接返回0即可。 另外,当mod为10000时,如果base和mod不互质,可能需要处理一些特殊情况,但快速幂算法本身并不需要这个条件,所以可以正常使用。 现在,编写代码的大纲:```c#include <stdio.h> constint MOD=10000; intfast_pow(intbase,int exp){intresult =1;base %= MOD;if (base ==0) return0; //当base为0且exp>=1时,结果为0while (exp >0){if (exp %2==1){result =(result* base) %MOD;}base= (base *base)% MOD;exp /=2;}return result; }int main() {inta,b;while(scanf("%d%d", &a,&b) !=EOF){ //处理多组输入intsum =0;for(inti =1; i<= a; ++i){sum =(sum+ fast_pow(i,b))% MOD;}printf("%d\n", sum);}return0;} ```这里需要注意几点:1.输入可能有多组,需要用循环读取,直到文件结束。2.fast_pow函数处理base=0的情况,直接返回0。3.每次累加后立即取模,防止sum溢出。 测试样例方面,例如: 输入:73输出: 计算1^3+2^3 +... +7^3 mod10000 =(1+8+27+64+125+216+343)=784mod10000=784另一个测试样例,比如当a=10000,b=1时,总和是(10000*10001)/2mod10000。因为10000mod10000=0,所以总和是(0+1+2+...+9999)+0。总和为(9999*10000)/2=49995000,mod10000的结果是5000。但根据代码,当i=10000时,base=0,返回0。所以总和是1+2+...+9999的和mod10000。计算等差数列和为(9999*10000)/2=49995000,mod10000为5000。因此代码是否正确? 此时,代码中的i从1到a=10000,其中i=10000时,base=0,贡献0。所以总和是1到9999的和。这可能需要用户确认题目是否要求包括i=10000的情况,但根据题目描述,应该是包括的。但根据问题中的公式,当a=10000时,确实包括i=10000。因此,当计算i=10000^bmod10000时,结果应为0,所以上述代码是正确的。 但等差数列的和计算是否正确?例如,当a=10000,b=1时,总和是1+2+...+10000=10000*10001/2 =50005000。mod10000的结果是50005000 mod10000 =5000。但根据代码,i=10000时,base=0,所以总和是1+2+...+9999+0= (9999*10000)/2=49995000,mod10000=5000。所以两种方式得到的结果相同,因为50005000mod10000=5000,而49995000mod10000=5000。这说明代码是正确的,因为10000^1mod10000=0,所以总和是50005000-10000 +0=50005000-10000=49995000,这显然有问题。这里可能哪里出错了?哦,这里可能我的计算有误。正确的总和应该是1到10000的和,即50005000。但根据代码,当i=10000时,base=0,所以i^bmod10000=0。因此,代码中的总和是1+2+...+9999+0=49995000,而正确的总和应该是50005000。因此,这里存在错误。问题出在当i=10000时,i mod10000=0,所以i^bmod10000=0,但当b=0时,i^0=1,但题目中的指数b是否可能为0?根据问题描述,题目中的b是用户输入的正整数,所以假设b>=1。因此,当i=10000时,i^bmod10000=0,正确。所以总和50005000-10000=49995000,而代码确实计算了这个值,但正确的总和应该是50005000,mod10000的结果是5000。然而,49995000mod10000=5000,所以两者结果相同。因此,代码是正确的。因为50005000mod10000=5000,而49995000mod10000=5000,所以结果相同。这说明即使省略了i=10000的项,结果仍然正确,因为10000mod10000=0,所以对总和没有影响。因此,代码是正确的。另一个测试案例:当a=2,b=2时,总和是1^2+2^2=5,mod10000=5。代码正确。当a=5,b=3,总和=1+8+27+64+125=225,mod10000=225。因此,代码是正确的。现在,考虑性能问题。假设a和b都很大,比如1e5,那么这个算法的时间复杂度是O(a logb),对于1e5的a和logb来说,可能在时间限制内。但若a更大,比如1e6,可能需要进一步优化。但根据题目中的输入范围没有明确给出,可能需要假设a和b在合理范围内。例如,如果a是1e4,b是1e4,那么总操作次数是1e4 *log2(1e4) ≈1e4*14=1.4e5次,这应该是可以接受的。因此,上述代码应该可以正确解决问题,并且效率足够。</think>### 问题分析与算法设计 要求计算表达式$S = (1^b + 2^b + \dots + a^b) \mod 10000$,需解决两个关键问题: 1. **大数幂运算**:直接计算$i^b$会产生溢出,需使用快速幂算法结合模运算特性 2. **累加优化**:利用模运算的分配律$(x + y) \mod m = [(x \mod m) + (y \mod m)] \mod m$,在每次计算后立即取模 快速幂算法的时间复杂度为$O(\log b)$,整体算法复杂度为$O(a \log b)$[^1] ### C语言实现代码 ```c #include <stdio.h> #define MOD 10000 int fast_pow(int base, int exp) { int result = 1; base %= MOD; // 优化关键:利用周期性减少计算量[^1] if (base == 0) return 0; // 处理0的任意次幂(除0^0) while (exp > 0) { if (exp & 1) { result = (result * base) % MOD; } base = (base * base) % MOD; exp >>= 1; } return result; } int main() { int a, b; while (scanf("%d%d", &a, &b) == 2) { int sum = 0; for (int i = 1; i <= a; ++i) { sum = (sum + fast_pow(i, b)) % MOD; } printf("%d\n", sum); } return 0; } ``` ### 关键代码解析 1. **快速幂实现**: ```c while (exp > 0) { // 二进制分解指数 if (exp & 1) result = (result * base) % MOD; base = (base * base) % MOD; exp >>= 1; } ``` 通过位运算将时间复杂度优化到$O(\log b)$[^1] 2. **模运算优化**: ```c base %= MOD; // 利用模的周期性,i^b ≡ (i%MOD)^b (mod MOD) ``` 当i > MOD时,计算结果与i%MOD的幂等效[^1] ### 测试样例验证 | 输入 | 计算过程 | 输出 | |--------|-----------------------------|-----| | 7 3 | $1^3+2^3+...+7^3=784$ | 784 | | 5 2 | $1^2+2^2+...+5^2=55$ | 55 | | 10000 1| $(1+2+...+10000)\mod10000=5000$ | 5000 | ### 复杂度分析 - 时间复杂度:$O(a \log b)$ - 空间复杂度:$O(1)$ ---
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