考研数学一的基本计算与应用以及对概数的膜拜

考研数学一的基本计算与应用

前言

记录高等数学的基本计算与应用的心得体会。参考高等数学知识框架初步 ，学习路线依次是极限计算、求导计算、积分计算，然后是微积分的应用以及中值定理，

计算问题是核心问题，计算问题解决了，其他问题都是小问题。计算问题没能达到及格线，学习后边的应用也十分容易被卡脖子。

高等数学的计算问题是极限计算、微分计算、积分计算；

线性代数的计算问题是行列式计算、矩阵计算；

概论与数理的计算问题是微积分计算。

其中极限的计算和微分的计算息息相关，可以归为微分计算。

综上所述，考研数学一的基本计算是微分计算和积分计算、行列式计算和矩阵计算。

微分的应用主要是三点两性一线

积分的应用主要是面积体积平均值

行列式和矩阵的应用主要是解方程组和相似理论

计算

极限计算

基本框架

概念

数列极限、函数极限

无穷小比阶概念

一般性质

唯一性：左极限=右极限，则极限存在

（局部）有界性

（局部）保号性：衍生出不等式脱帽戴帽法

存在性质

夹逼准则

单调有界准则（魏氏准则）

运算性质

极限运算性质

洛必达法则：右存在，则左存在；

泰勒公式：A/B上下同阶；A-B系数不等的幂次最低；

补充

对数指数运算

三角函数运算

三个重要极限

八个等价无穷小

十个泰勒公式

变限积分求导公式

内在联系

常用无穷小比阶和连续来考题，实则是计算函数极限；

数列极限在这部分不做展开，到无穷级数部分再联系，数列极限常用归结原则、定义、存在性质进行证明；

函数极限主要解决七种未定式的计算，工具有对数指数运算、三角函数运算、三个重要极限、八个等价无穷、十个泰勒泰勒公式、变限积分求导以及洛必达法则。

不过在做函数极限的时候最好结合微分计算。因为泰勒公式需要用到高阶导数求导，高阶导数求导需要用到微分计算。泰勒公式虽然干巴巴记忆也行，但是个人喜欢推导，喜欢联系。十个泰勒公式记住后，三个重要极限以及八个等价无穷小也可以用泰勒公式证明，依次记忆。这样的话函数极限的内容也就这些。

八个等价无穷小是泰勒公式衍生，用的时候注意其精度，有些极限计算中进行等价无穷小替换的时候要注意把精度展开到更高次幂一些。

导数计算

定义与性质

导数：左导数=右导数；增量概念

微分：增量概念；复合函数与微分形式不变性

求导工具

基本求导公式：8+8+2；

求导法则：四则运算、复合函数求导（对数、幂指求导法）、反函数求导；

求导类型

参数方程求导

隐函数求导

高阶求导：归纳法、莱布尼茨公式（高阶导数的四则运算）、泰勒公式

内在联系

基本求导公式有八个：对数求导两个、幂函数求导两个、三角函数求导两个、指数求导一个、常数求导一个；

然后用四则运算推导出正切、余切求导；

用复合函数求导推导出正割、余割求导；

用反函数求导推导出反正弦、反余弦、反正切、反余切的求导公式；

有了这些基本公式后，可以进行基本的求导计算。

求导类型主要用高阶求导，技巧有对数求导和幂指函数求导。

两边同时取对数进行求导

幂指求导进行局部变形

高阶求导：归纳法、莱布尼茨公式、幂级数

积分计算

极限的计算是用好极限运算性质和常用公式进行解题；重点考等价无穷小和洛必达法则。计算量适度。不过对数指数运算、三角运算要熟练。

微分的计算是用好求导工具解决好求导类型。考得很综合，四则运算、复合函数、反函数、隐函数的计算公式反复使用。重点考高阶求导。计算量适度。

最后是积分计算。也是微积分最后的一环，至此微分、积分形成了闭环。微积分的函数性质可以一起讨论。计算可以相互关联。形成原函数、积函数、导函数的祖孙三代关系，集中分析其奇偶性、周期性、单调性、有界性。

积分计算十分有意思，综合性很强，计算量最大，应用最广。

不定积分计算

基本积分公式

凑微分法

换元法

分布积分法

有理函数积分

定积分定义

基本形

放缩形

变量形

定积分计算

区间再现公式

华里士公式

变限积分

直接求导

换元求导

拆分求导

换序型

补充

常