机器学习之逻辑回归模型

分类思想

逻辑回归(Logistic Regression)虽然称为回归，但实际是一个常用的二分类算法，用来表示某件事发生的可能性。分类的思想：将每个样本进行“打分”，然后设置一个阈值(概率)，大于该阈值为一个类别，反之另一类别。

逻辑回归模型公式

逻辑回归的z部分类似线性回归，z值是一个连续的值，取值范围为$z\in (-\infty ,+\infty )$，将阈值设为0，当z≥0时，样本划为“正类”，当z<0时，样本划为“负类”，这种分类对整改是实数域敏感一致不便于分类。
在z的基础上，套上sigmoid函数(引入非线性映射)，将线性回归值域映射至(0,1)，来表事件发生的概率。将预测值限制在(0,1)，模型曲线在z=0时，十分敏感，在z>>>0 or z<<<0时都不敏感，有助于直观做出列别判断，>0为“正类”，反之为“负类”。
$$\begin{gathered} 一元线性回归方程：h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1 \\ . \\ 多元线性回归方程：h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_1{x}_2+...+{\theta }_n{x}_n={\sum }_{i=0}^n{\theta }_i{x}_i={\theta }^{T}x \\ . \\ {h}_{\theta }^{\prime }(x)=sigmoid(z)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}} \end{gathered}$$

公式推导

似然函数=>求对数=>LR的损失函数=>梯度下降求解参数

- 参数更新公式：对损失函数进行求偏导得到

• 什么时候迭代停止
  

• 模型学习训练的本质
  通过带有n个特征{$x_1,x_2...x_n$}的观测样本的拟合参数{${\theta }_1,{\theta }_2...{\theta }_n$}，拟合出参数就得到了z曲线，也就得到了模型的决策边界来进行分类，参数的拟合就是模型训练学习的本质。
  如果z是二元一次函数，则决策边界就是一条直线，将二维平面进行分类划分。训练集不可以定义决策边界，只是负责去拟合参数，尽可能地贴近真实。

sigmoid函数

$$g(z)=sigmoid(z)=\frac{1}{1+e^{-z}},z\in (-\infty ,+\infty ),g(z)\in (0,1)$$
sigmoid函数特点：g’=g(1-g)
在这里插入图片描述

避免过拟合

降低模型复杂度

加入L1/L2正则项

对于线性回归模型，使用L1正则化的模型叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归(岭回归)

• L1正则化指权值向量$\theta$中各个元素的绝对值之后，通常表示为$+\alpha \Vert \theta {\Vert }_1$
• L2正则化指权值向量$\theta$中各个元素的平方和然后再求平方根之后，通常表示为$+\alpha \Vert \theta {\Vert }_2^2$

正则化的作用

• L1正则化可以使得参数稀疏化，即得到的参数是一个稀疏矩阵，可以用于特征选择。
• L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合。
  可参考：

增加训练数据

使用逻辑回归模型进行多分类的几种方式

One vs One

多个类别中抽出2个类别，训练分类器，训练$C_2^k$个分类器，记录每个分类器的预测结果(投票)，取票数多的作为最终类

One vs All

依次选择所有类别中的一个类别作为1，其余均作为0，来训练分类器，最终几个类别得到几个分类器。根据每个分类器对其对应的类别1的概率排序，得到概率最高的类别作为最终预测结果

具体可以参考Appendix

代码实现

逻辑回归的梯度下降求解

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
from numpy import exp
from sklearn import datasets
import os
import math

dataX=datasets.load_iris()['data'][0:100]
dataY=datasets.load_iris()['target'][0:100]

# sigmoid函数
def sigmoid(X):
        return 1.0/(1+exp(-X))

# 损失函数
def lossFunc(x,y,weights):
    lossSum=0   # 损失函数
    for i in range(len(y)):
        #y估计值=theta0*x0+theta1*x1+theta2*x2,其中,weights=[theta0,theta1,theta2]
        y_hat=sum(np.dot(x[i,:],weights))
        #事件发生的概率
        prob=sigmoid(y_hat)
        #print(prob)
        #损失函数
        lossSum+=-y[i]*np.log(prob)-(1-y[i])*np.log(1-prob) # J(theta)
    return lossSum/float(len(x))

def LR_Descending(x,y,maxstep,esp,alpha):
    '''
    @matstep: 最大迭代次数
    @esp：阈值，当权重差小于阈值时，不再迭代
    @alpha：学习率
    '''
    m,n=x.shape
    lossList=[]
    # 初始化权重
    weights=np.ones((n, 1))
    for i in range(maxstep):
        loss = lossFunc(x, y, np.array(weights))
        lossList.append(loss)
        y_hat=sigmoid(np.mat(x)*weights) # 矩阵计算
        err=y_hat-np.mat(y).T # n*1
        weights_new=weights-alpha*np.mat(x).T*err # 参数更新公式,   alpha*(feature,n)*(n,1)=(feature,1)
        #print('weightsnew:%s'%weights_new)
        #print('loss:%s'%+loss)
        loss_after=lossFunc(x, y, np.array(weights_new))    
        #print('loss_after:%s'%loss_after)
        if abs(loss_after-loss)<esp:
            break
        else:
            weights=weights_new
    return lossList,np.array(weights),y_hat

# 训练
lossList1,weight1,y_hat=LR_Descending(x=dataX,y=dataY,maxstep=1000,esp=0.0001,alpha=0.0001)

# 绘图
fig, ax1 = plt.subplots()
ax1.scatter(range(len(lossList1)),lossList1)

Appendix

机器学习算法（一）：逻辑回归模型（Logistic Regression, LR）