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原创 微分方程（Blanchard Differential Equations 4th）-补充习题01
y′axyx″4xtcos2tX′AXX′AXFxdtdxfxy)dtdygxy)dtdx0xxyX′AXTrA)detA)dxdyy1y′′ω2y0λα±iβα′3y0?A. yCe−3t;B. yCe3t;C. yCt3;D. yCe−3t′ptygtis:A. e∫ptdt;
2025-02-16 10:28:54
151
原创 2025大学生数学竞赛1-2（非数学类）
摘要：通过设积分常数$A=\int_0^1 f(x)dx$并分析极限$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$的存在性，将函数$f(x)$表示为$x^3-Ax^2-Ax$。利用积分方程解得$A=\frac{3}{22}$，最终求得函数表达式为$f(x)=x^3-\frac{3}{22}x^2-\frac{3}{22}x$。
2025-11-15 21:48:08
803
原创 CH01-Exer1.2-Ordinary Differential Equation-By LiuChao
摘要： 本文分析了四个微分方程的阶数和线性性质，并求解了四个初值问题。方程(1)-(4)的阶数均为1，其中(3)是线性的，其余非线性。初值问题(2.1)的解为常数函数$y(x)\equiv1$；(2.2)的解为$y(x)=1/(\ln|x^2-1|+1)$；(2.3)的解为$y(x)=1/(1-\ln|\sec x+\tan x|)$；(2.4)通过分离变量得到隐式解$\ln|x/y|+1/y-1/x=-2$。所有解均满足给定的初始条件，并讨论了定义域限制。
2025-10-14 09:32:35
39
原创 CH01-1.3.2 Homogeneous differential equations-Ordinary Differential Equation-by LiuChao
摘要：本文介绍了一类可化为可分离变量方程的微分方程，其一般形式为$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right)$。当系数行列式$\Delta\neq0$时，通过坐标平移消去常数项可将其化为齐次方程；当$\Delta=0$时，则直接转化为可分离变量方程。文中还给出了具体算例，通过坐标平移和变量替换展示了求解过程。该方法的关键在于判断系数行列式是否为零，从而选择适当的解法。
2025-09-04 13:46:34
41
原创 CH01-1.3.1 Homogeneous differential equations-Ordinary Differential Equation-by LiuChao
摘要： 本文介绍了齐次微分方程的定义、性质及其解法。齐次方程形如 ( \frac{dy}{dx} = g\left(\frac{y}{x}\right) )，其核心特征为右端函数可表示为 ( \frac{y}{x} ) 的函数。通过变量代换 ( u = \frac{y}{x} )，可将其转化为可分离变量的方程，进而求解。文章通过具体示例（如 ( x^2 \frac{dy}{dx} = xy - y^2 )）详细演示了代换、分离变量和积分等步骤，并指出零次齐次函数与齐次方程的等价性。文末指出此类方程为“可化为
2025-09-04 13:45:12
51
原创 CH01-1.1 Exercise-Ordinary Differential Equation-by LiuChao
本文摘要： 第一部分分析了6个微分方程的阶数与线性性质，指出①、②、④、⑤、⑥为非线性方程，③为线性方程。第二部分验证了4个函数是否为对应方程的解，结果显示：①、②、③不满足方程，④满足方程。通过详细计算验证了各结论的正确性。
2025-09-02 20:56:18
54
原创 CH01-1.2 Variable separable equation-Ordinary Differential Equation-by LiuChao
变量可分离方程是指形如 $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ 或 $M_1(x)N_1(y)dx=M_2(x)N_2(y)dy$ 的微分方程。其特点是可将方程分离为仅含变量$x$和$y$的两部分。解法是通过变量分离得到 $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$（当$g(y)\neq 0$），积分后获得隐式通解。若存在$g(y_0)=0$，则$y=y_0$为常数解。例如，$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ 的通解为 $y=Cx$（含特例$y=0$）。该方法的关键是将方程
2025-09-02 20:54:19
97
原创 CH01-1.1 Differential equations and solutions-Ordinary Differential Equation-by LiuChao
摘要： 微分方程是描述变量与其导数关系的数学工具，源于牛顿和莱布尼茨创立的微积分。以自由落体问题为例，通过牛顿第二定律建立微分方程（如$m\ddot{x}=-k\dot{x}+mg$），可揭示运动规律。微分方程分为常微分方程（单个自变量）和偏微分方程（多个自变量）。方程的阶数由最高阶导数决定，形式包括隐式（如$F(x,y,y')=0$）、显式（如$y'=f(x,y)$）和微分形式。线性微分方程中函数$F$对$y$及其各阶导数为线性，否则为非线性。微分方程是研究自然运动规律的重要数学框架。
2025-09-02 20:53:00
59
原创 2025春季NC:3.4 Composite integration rules
梯形法则:112b−aM2121b−aM2复合梯形法则:112h2b−aM2121h2b−aM2辛普森法则:12880b−aM428801b−aM4复合辛普森法则:1180h4b−aM41801h4b−aM4请注意，我们在辛普森法则的误差界限中使用的是b−ab - ab−a，而不是hb−a2h2b−a。
2025-05-11 22:24:35
64
原创 2025春季NC:3.2Simpson公式
辛普森公式是一种数值积分方法，通过选取三个点（两端点和中点）来近似计算定积分。其公式为 $\int_a^b f(x) , dx \approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2) \right)$，其中 $h = \frac{b - a}{2}$。该公式是牛顿-科特斯法则的特例，适用于二次多项式时能给出精确结果。误差分析表明，对于四阶可导函数，误差与 $h^5$ 成正比，具体为 $E(f) = -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(\xi)$。
2025-05-11 22:24:10
69
原创 2025春季NC:2.4 Convergence
我们有一个插值误差的界限。是否可以通过增加更多的插值点或修改这些点的分布来使误差更小？这个问题的答案可能取决于两个因素：所考虑的函数类以及点的分布方式。计算此例的插值误差，结果与之前的例子完全不同。事实上，绘制误差图并将其与等距点的情况进行比较，可以发现，巧妙地选择插值点可以带来巨大的好处。令人惊讶的是，答案是否定的，正如以下著名的例子——龙格现象（Runge Phenomenon）所示。然而，当我们在不同的等距点上对逐渐增大的。问题并非源于插值方法本身，而是与点的分布方式有关。次拉格朗日插值多项式。
2025-04-27 10:33:41
75
原创 2025春季NC:2.3 Newton’s divided differences
一种便捷的表示方式为pxa0a1x−x0⋯anx−x0x−xn−12.5如果已知系数a0an，那么仅需n，可以使用进行高效计算。此外，这种形式的一个优势是，：如果新增一个插值点xn1，则原有的系数a0an。设插值点为x0−1x10x21x32。那么三次多项式p3xx3可以按照形式 (2.5) 重新表示为p3x−1x1x。
2025-04-26 21:02:05
54
原创 2025春季NC:3.1TheTrapeziumRule
fxbetween xaand xbabinto nnb−a, then:∫abfxdx≈2hfx02fx12fx2⋯2fxn−1fxnWhere:x0axnbxiaihi12...n−102x21dx42−00.5x00.51.01.52.0fx)11.2523.25520.512。
2025-04-26 21:00:34
81
原创 2025春季NC:2.2Interpolation Error
现在，我们已经证明了函数的插值多项式的存在性和唯一性，接下来我们希望了解它对原函数的逼近程度。尽管在实际计算中我们无法准确找到这个位置，但情况并不算太糟，因为有时我们可以在区间。，那么拉格朗日插值多项式可能与原始函数看起来非常不同。没有任何额外的假设，这个误差可能是任意的。因此，我们将限制讨论足够平滑的函数。为了证明定理 2.3，我们需要以下罗尔定理的推论。，但它可能有不同的表示形式。中保证一定的精度，插值点的间距必须足够小。处的拉格朗日插值多项式。，存在介于两者之间的某个点使得。那么，我们应选择多大的。
2025-04-23 09:40:49
60
原创 2025春季NC:2.1Interpolation
注意，插值多项式是唯一确定的，但该多项式可以有不同的表示形式。因此，“拉格朗日插值多项式”指的是该多项式的特定形式 (2.3)。接下来，我们将证明这个多项式是唯一确定的。定义的是相同的多项式（可以通过展开右边的项验证），因此两者都表示唯一的插值多项式，经过点。是通过这些点的唯一一次多项式。然后我们将讨论通过插值逼近多项式的质量、收敛性问题，以及其他方法，如牛顿插值。是不同的，否则我们将遇到除零的情况，造成灾难。互不相同，插值问题的目标是找到一个最低次数的多项式。的多项式，特别是常数项，因为我们允许在表示。
2025-04-23 09:39:57
56
原创 2025春季NC:Numerical Error in Floating Point Numbers-Supp
浮点数的真实值 =(-1)^符号位 × 1.尾数 × 2^(指数位 - Bias)很棒的问题！加上偏移量（bias）是浮点数设计中的一个聪明技巧，目的是为了让指数可以用无符号数表示，同时仍能表示正负指数。让我们来详细拆开解释下这个设计的必要性和优点。优点说明✔ 使用无符号存储无需专门设计带符号指数位✔ 便于比较大小浮点数可按位直接比较大小✔ 实现简单高效硬件设计更容易，排序更快✔ 支持负指数可自然表示小于 1 的小数如果没有引入偏移量，我们就得用补码表示指数。
2025-04-21 20:02:26
655
原创 2025春季NC:1.2Accuracy_supp
浮点数的真实值 =(-1)^符号位 × 1.尾数 × 2^(指数位 - Bias)很棒的问题！加上偏移量（bias）是浮点数设计中的一个聪明技巧，目的是为了让指数可以用无符号数表示，同时仍能表示正负指数。让我们来详细拆开解释下这个设计的必要性和优点。优点说明✔ 使用无符号存储无需专门设计带符号指数位✔ 便于比较大小浮点数可按位直接比较大小✔ 实现简单高效硬件设计更容易，排序更快✔ 支持负指数可自然表示小于 1 的小数如果没有引入偏移量，我们就得用补码表示指数。
2025-04-18 10:15:55
739
原创 2025春季NC:1.2Accuracy
为了衡量近似值的质量，我们使用的概念。给定一个数值x和一个计算得出的近似值xEabsx∣x−x∣而Erelx∣x∣∣x−x∣使用相对误差的好处是显而易见的：它们具有。而绝对误差有时可能毫无意义。例如，在曼彻斯特博物馆估算霸王龙的年龄时，误差一个小时无足轻重，但在确定一场讲座的时间时，这却至关重要。这是因为对于前者，一个小时对应的是10−11数量级的相对误差，而对于后者，相对误差则是10−1级别。
2025-04-18 10:14:37
548
原创 2025春季NC:1.1Introduction
我们使用的“计算时间”度量是解决问题所需的基本（浮点）算术运算数量（例如加法、减法、乘法、除法），它是输入大小的函数。一个有趣且具有挑战性的领域是代数复杂度理论，它研究执行某些计算任务所需的算术运算的下界。实际上，我们不需要计算一系列的数值，而是在每一步都覆盖一个变量的值。“由于我们从对数表和三角函数表中取出的数值都不能达到绝对精确，而只能在一定程度上近似，因此，利用这些数值进行的所有计算，其结果也只能是近似正确的。在这里，我们不太关注精确的数字，而更关心的是计算量的级别。的多项式，依此类推。
2025-04-18 09:47:13
954
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-4.2向量的范数
即使我们关心的是在 2-范数下的收敛性，证明序列在 1-范数下收敛可能会更快捷，而一旦证明了这一点，按照上述推论，收敛性在 2-范数下自然也会成立。类似地，可以证明 1-范数和 2-范数之间的关系，以及 1-范数和无穷范数之间的关系。现在我们已经定义了衡量向量之间距离的方法，接下来我们可以讨论收敛性。如果我们想指出收敛是相对于哪种特定的范数进行的，我们有时会写作。分别表示相对于 1-范数、无穷范数和 2-范数的收敛性。，所以我们也能得到在 1-范数下的收敛性。，那么它也在 2-范数下收敛到。
2025-04-15 08:05:03
98
原创 Numerical Computation Schedule NEUQ & AUK
Teacher ID: 1000556Semester: Spring 2024-2025Print Date: April 7, 2025Note: “Num. Comp.” stands for “Numerical Computation”.
2025-04-07 10:18:25
337
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-3.3数值积分的Runge现象
，数值积分的近似值是负的，这对一个严格为正的函数来说显然是不合理的。原因是某些求积规则中的权重是负数。正如这个例子所示，增加插值多项式的度数并不总是一个有效的选择，因此我们必须考虑其他方法来提高数值积分的精度。特别地，我们可以得出结论：对于多项式的度数不超过一的情况，梯形规则的误差为零（因为对于一阶多项式，对于多项式的度数不超过三的情况，辛普森规则的误差为零（因为对于三阶多项式，这就引发了一个问题：增加插值多项式的度数是否一定能减小积分的误差呢？是辛普森规则的绝对误差，是梯形规则的绝对误差，
2025-04-06 20:44:54
73
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-4.1数值代数方程组求解
在数值分析中，许多问题可以用线性代数来表述。例如，偏微分方程的离散化会导致涉及大型线性方程组的问题。线性代数中的基本问题是求解线性方程组Axb4.1其中Aa11⋮am1⋯⋱⋯a1n⋮amn是一个m×n的矩阵，矩阵的元素是实数，且xx1⋮xnbb1⋮bm是向量。我们通常处理的是mn（即A是一个方阵）的情况。
2025-04-05 21:29:17
141
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-3.4数值积分-复合积分公式
梯形法则:112b−aM2121b−aM2复合梯形法则:112h2b−aM2121h2b−aM2辛普森法则:12880b−aM428801b−aM4复合辛普森法则:1180h4b−aM41801h4b−aM4请注意，我们在辛普森法则的误差界限中使用的是b−ab - ab−a，而不是hb−a2h2b−a。
2025-04-04 23:08:41
136
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-5.4 不动点迭代收敛速度
序列xnx_nxn(对于n≥0n \geq 0n≥0) 若以一阶收敛（或线性收敛）收敛到α\alphaα∣xn1−α∣≤k∣xn−α∣for some0k1.∣xn1−α∣≤k∣xn−α∣for some0k1.如果序列以阶数r≥2r \geq 2r≥2∣xn1−α∣≤k∣xn−α∣rfor somek0.∣xn1−α∣≤。
2025-03-29 07:50:01
68
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-5.2 牛顿法求解
处几乎水平，这会使得迭代值远离解。另一个问题是，当迭代在两个值之间振荡时，方法无法收敛，例如下面的例子所示。然而，牛顿法并非没有问题。我们可以很容易地找到一些初始点，使得该方法无法收敛。我们可以看到，在仅仅四次迭代之后，牛顿法就比二分法提供了一个更好的近似解。，即新旧迭代值的差小于预定义的容忍度（TOL），则停止迭代。牛顿法的基本思想是通过函数在某一点。，我们需要找到该点的切线的根。小于给定的容忍度，我们停止并声明。依赖于具体的情况，前提是我们从。是可微的，并且我们能够计算出。在每一步中，从当前的。
2025-03-25 09:06:19
84
原创 Answers:Mathematical Modeling-Frank R. Giordano(5-th Version)-10.1Game Theory: Total Conflict
Let’s evaluate:Thus, Colin will always choose C1.Thus, Rose will always choose R1.Let’s evaluate:Thus, Colin will play C1 if he is choosing optimally.Thus, Rose will choose R1.Let’s evaluate:Thus, the Batter is choosing optimally between the two options de
2025-03-14 15:46:59
146
原创 Answers:Mathematical Modeling-Frank R. Giordano(5Version)-1.2Approximating Change with Difference Eq
Let’s go step by step to analyze the sheep population growth:The given data:We will:I will generate a population vs. year plot, as well as a change-in-population vs. elapsed years plot. Let me compute and display these plots.Since the growth slows down ov
2025-03-13 08:10:33
85
原创 Answers:Mathematical Modeling-Frank R. Giordano(5Version)-1.1 PROJECTS
M=Pr(1+r)n(1+r)n−1M = \frac{P r (1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1}M=(1+r)n−1Pr(1+r)nWhere:Let’s calculate the monthly payments for each car and compare them to your $500 budget.You can afford the following cars based on your $500/month budget:The Chevy Volt and
2025-03-11 07:02:42
83
原创 Answers:Mathematical Modeling-Frank R. Giordano(5Version)-1.1Modeling Change with Difference Eqn.
This is a geometric sequence with a common ratio r=3r = 3r=3. 1. a0=1a_0 = 1a0=1 (given) 2. a1=3a0=3⋅1=3a_1 = 3a_0 = 3 \cdot 1 = 3a1=3a0=3⋅1=3 3. a2=3a1=3⋅3=9a_2 = 3a_1 = 3 \cdot 3 = 9a2=3a1=3⋅3=9 4. a3=3a2=3⋅9=27a_3 = 3a_2 = 3 \cdot 9 = 27a3=3a2=3
2025-03-06 10:05:21
572
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-3.2Simpson公式
在这种情况下，辛普森法则给出了积分的精确值！正如我们将看到的，对于任何二次多项式，辛普森法则都能给出精确结果。我们现在证明辛普森法则确实是牛顿-科特斯法则的一个阶数为。时，使用拉格朗日基函数来构造插值权重。证明基于《数值分析导论》中的第七章。与梯形法则一样，我们也可以为辛普森法则界定误差。辛普森法则是牛顿-科特斯求积法则的一个特例。通过对与这些点相关的拉格朗日插值多项式。来得到插值多项式的表示（简化记作。上的四阶导数的绝对值的上界。这个结果比梯形法则的近似值。牛顿-科特斯法则的阶数为。
2025-02-28 10:39:09
893
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-3.1积分与求积法
这个积分无法用闭式形式表示。即使在某些情况下原函数可以被计算出来，从数值计算的角度来看，直接计算原函数可能并不是最佳选择。因此，问题的核心是如何尽可能精确地通过数值方法近似这些积分。梯形法则通过由函数图形所定义的梯形的面积来近似积分，积分被解释为曲线下方的面积。利用插值误差，我们可以推导出梯形法则的积分误差。梯形法则可以被解释为在。如果可能的话，可以通过计算原函数。梯形法则是一个求积法则的例子。的函数）来求得积分值，即。根据积分中值定理，存在某个。我们关注的问题是计算积分。使用梯形法则，我们得到。
2025-02-26 12:00:07
60
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-2.5 Alternative Form of Lagrange Interpolation
并用这个“巧妙的 1”进行除法运算，即可得到公式 (2.9)。最后，可以证明在诸如切比雪夫点这样的点上，计算重心拉格朗日插值的数值是稳定的。此外，添加新的插值点需要重新计算拉格朗日基多项式。这两个问题都可以通过重写拉格朗日插值公式来解决。一旦权重计算完成，求值只需要。一方面，它的计算需要。次操作，并且更新新权重也只需要。为了推导这个公式，定义。），拉格朗日插值多项式可以写成。拉格朗日插值多项式的表示形式。
2025-02-25 15:42:34
65
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-2.4收敛性
我们有一个插值误差的界限。是否可以通过增加更多的插值点或修改这些点的分布来使误差更小？这个问题的答案可能取决于两个因素：所考虑的函数类以及点的分布方式。计算此例的插值误差，结果与之前的例子完全不同。事实上，绘制误差图并将其与等距点的情况进行比较，可以发现，巧妙地选择插值点可以带来巨大的好处。令人惊讶的是，答案是否定的，正如以下著名的例子——龙格现象（Runge Phenomenon）所示。然而，当我们在不同的等距点上对逐渐增大的。问题并非源于插值方法本身，而是与点的分布方式有关。次拉格朗日插值多项式。
2025-02-25 15:40:33
62
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-2.3牛顿插值
一种便捷的表示方式为pxa0a1x−x0⋯anx−x0x−xn−12.5如果已知系数a0an，那么仅需n，可以使用进行高效计算。此外，这种形式的一个优势是，：如果新增一个插值点xn1，则原有的系数a0an。设插值点为x0−1x10x21x32。那么三次多项式p3xx3可以按照形式 (2.5) 重新表示为p3x−1x1x。
2025-02-24 11:14:12
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原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-2.2插值误差
现在，我们已经证明了函数的插值多项式的存在性和唯一性，接下来我们希望了解它对原函数的逼近程度。尽管在实际计算中我们无法准确找到这个位置，但情况并不算太糟，因为有时我们可以在区间。，那么拉格朗日插值多项式可能与原始函数看起来非常不同。没有任何额外的假设，这个误差可能是任意的。因此，我们将限制讨论足够平滑的函数。为了证明定理 2.3，我们需要以下罗尔定理的推论。，但它可能有不同的表示形式。中保证一定的精度，插值点的间距必须足够小。处的拉格朗日插值多项式。，存在介于两者之间的某个点使得。那么，我们应选择多大的。
2025-02-23 21:48:52
79
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-1.2精确度
1.2 准确性在19世纪初，C.F. 高斯，历史上最具影响力的数学家之一以及数值分析的先驱，发展了最小二乘法，以预测最近发现的小行星谷神星的再次出现。他深知数值计算的局限性，正如本讲座开头引用的那句名言所表明的那样。
2025-02-20 14:54:46
63
原创 THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 1-1.1 引论
我们使用的“计算时间”度量是解决问题所需的基本（浮点）算术运算数量（例如加法、减法、乘法、除法），它是输入大小的函数。一个有趣且具有挑战性的领域是代数复杂度理论，它研究执行某些计算任务所需的算术运算的下界。实际上，我们不需要计算一系列的数值，而是在每一步都覆盖一个变量的值。“由于我们从对数表和三角函数表中取出的数值都不能达到绝对精确，而只能在一定程度上近似，因此，利用这些数值进行的所有计算，其结果也只能是近似正确的。在这里，我们不太关注精确的数字，而更关心的是计算量的级别。的多项式，依此类推。
2025-02-20 14:52:29
98
线性代数+题库+解答+考研
2024-08-24
Blanchard Differential Equations PDF version Fourth Edition
2024-08-21
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