小a的旅行计划二项式展开定理

最新推荐文章于 2022-07-28 17:08:15 发布

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种算法，用于计算在特定条件下两个旅行者选择不同但有交集的旅游景点组合的方案数量。通过数学推导和编程实现，解决了牛客网上的一个算法问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20808
来源：牛客网

题目描述

小a终于放假了，它想在假期中去一些地方游玩，现在有N个景点，编号为1,2,…N，同时小b也想出去游玩。由于一些特殊♂原因，他们的旅行计划必须满足一些条件

首先，他们可以从这N个景点中任意选几个游玩

设小a选出的景点集合为A，小b选的景点集合为B，则需要满足

1. A,B的交集不能为空集

2. A,B不能相互包含(A=B也属于相互包含)

注意：在这里我们认为(A,B)是无序的，即(A,B)和(B,A)是同一种方案

输入描述:

一个整数N表示景点的数量

1<=n<=10^13;

输出描述:

一个整数表示方案数，答案对10^8+7取模

输入

输出

说明

合法的方案如下：
小a：(1, 2) 小b： (2, 3)
小a：(1, 3) 小b： (2, 3)
小a：(1, 2) 小b： (1, 3)

题解

A和B要满足：

1. A,B的交集不能为空集

2. A,B不能相互包含(A=B也属于相互包含)

那么A和B就应该满足既有相同的元素，又有不同的元素。那么A和B这两个集合每一个都最少有两个元素，最多有n-1个

先枚举A中的元素，然后枚举A和B相同的元素，再枚举不属于A但属于B的元素

得到下边这个公式，然后用二项式定理化简：

公式里有除法操作，那么用逆元来算。公式推导过程不难。

代码

#include<algorithm>
#include <iostream>
#include<cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e8+7;
ll ksm(ll a,ll b){
    a%=mod;
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
int main(){
    ll n;
    cin>>n;
    ll ans=((ksm(4,n)-1-ksm(3,n+1)+mod)%mod*ksm(2,mod-2)+3*ksm(2,n-1))%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}