Algorithm --贪心算法

一、概念

1. 原理：一种启发式策略，在每个决策点作出在当时看来最佳的选择，即总是遵循某种规则，做出局部最优的选择，以推导出全局最优解（局部最优解->全局最优解）
2. 求解最优化问题的两个关键要素：贪心选择性质+最优子结构
   ①贪心选择性质：进行选择时，直接做出在当前问题中看来最优的选择，而不必考虑子问题的解；
   ②最优子结构：如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，则称此问题具有最优子结构性质；
3. 解题关键：贪心策略的选择
   贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解的，因此选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。

二. 算法步骤：

• 1）有一个以优化方式来求解的问题。 为了构造问题的解决方案，有一个候选的对象的集合C，如活动安排问题中的活动集合E ={1,2,3，…，n}。
• 2）随着问题求解过程的进行，这个集合将逐步被划分为两个集合： 一个包含已经被考虑过并被选择的候选对象集合S；另一个包含已经被考虑过但被丢弃的候选对象。
• 3 )有一个函数solution(S)来检查一个所选择的对象集合是否提供了问题的解答。该函数不考虑此时的解决方法是否最优。如活动安排问题中所有活动是否已经被考察。
• 4）还有一个函数feasible(S)检查是否一个所选对象的集合是可行的，也即是否可能往该集合上添加更多的候选对象以获得一个解。和上一个函数一样，此时不考虑解决方法的最优性。在活动安排问题中，这个函数用来判断所选出的活动之间是否相容。
• 5）选择函数select ©用来从剩余候选对象集合中，根据当前状态选择出最有希望问题最优解的对象。在在活动安排问题中，选择函数是从剩余活动中选择最早结束的活动。
• 6）最后，有一个目标函数给出问题解的值，如在活动安排问题中被选择安排的活动数。
  
  其中，选择函数是贪心算法设计的关键，通常与目标函数有关。

三 . 贪心法与动态规划

• 最优解问题大部分都可以拆分成一个个的子问题，把解空间的遍历视作对子问题树的遍历，则以某种形式对树整个的遍历一遍就可以求出最优解，大部分情况下这是不可行的。
• 贪心算法和动态规划本质上是对子问题树的一种修剪，两种算法要求问题都具有的一个性质就是子问题最优性(组成最优解的每一个子问题的解，对于这个子问题本身肯定也是最优的)。
• 动态规划方法代表了这一类问题的一般解法，我们自底向上构造子问题的解，对每一个子树的根，求出下面每一个叶子的值，并且以其中的最优值作为自身的值，其它的值舍弃。
• 贪心算法是动态规划方法的一个特例，可以证明每一个子树的根的值不取决于下面叶子的值，而只取决于当前问题的状况。换句话说，不需要知道一个节点所有子树的情况，就可以求出这个节点的值。由于贪心算法的这个特性，它对解空间树的遍历不需要自底向上，而只需要自根开始，选择最优的路，一直走到底就可以了。