信号的傅里叶级数和傅里叶变换（一）_阶跃信号的傅立叶变换是什么-优快云博客

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本篇讨论对信号的傅里叶变化（Fourier Transform）和傅里叶级数（Fourier Series）的理解，如有不妥烦请指正。

1.为什么要对信号进行傅里叶分析？

将复杂信号表示为简单信号的线性和，便于分析。

2.连续周期信号傅里叶级数：

我们来看一个周期复指数信号：

$x\left ( t \right )=e^{^{{j\omega _{0}t}}}$ （1）

其中， ${\omega_{0}}^{}$ 为他的基波频率，其周期性可见于欧拉公式对复指数进行变换，那么，一组成谐波的复指数信号集就是：

$x\left ( t \right )=e^{^{{jk2\pi /Tt}}}$ （2）

这些信号中的每个都有一个基波频率，为 $k\omega {_0{_{}}}$ 。

那么，一个由成谐波关系的复指数信号线性组合（linear combination）所得到的信号：

$x\left ( t \right )=\sum_{k=\infty }^{+\infty} a_{k}e^{^{{jk2\pi /Tt}}}$ （3）

将一个周期信号表示为上述形式，就成为傅里叶级数（FS）表示，我们称这个公式为综合公式（synthesis）， $a_{_{k}}$ 称为傅里叶级数系数。

如何确定上述 $a_{_{k}}$ ？

我们给（3）左右两边同时 $\times e^{-{{jn\omega _{0}t}}}$ ，就得到了：

$x\left ( t \right )\cdot e^{-{{jn\omega _{0}t}}}=\sum_{k=\infty }^{+\infty} a_{k}e^{^{{jk2\pi /Tt}}}\cdot e^{-{{jn\omega _{0}t}}}$ （4）

我们对（4）等式两边同时求0~T上的积分：

$\int_{0}^{T}x\left ( t \right )\cdot e^{-{{jn\omega _{0}t}}}dt=\int_{0}^{T}\sum_{k=\infty }^{+\infty} a_{k}e^{^{{jk2\pi /Tt}}}\cdot e^{-{{jn\omega _{0}t}}}dt$ （5）

交换积分次序，可以得到：

$\int_{0}^{T}x\left ( t \right )\cdot e^{-{{jn\omega _{0}t}}}dt=\sum_{k=\infty }^{+\infty} a_{k}\int_{0}^{T} e^{{{j(k-n)\omega _{0}t}}}dt$ （6）

利用欧拉公式求解积分，得到：

$\int_{0}^{T} e^{{{j(k-n)\omega _{0}t}}}dt=\left\{\begin{matrix} T,k=n\\ 0,k\neq n \end{matrix}\right.$ （7）

那么，（5）就改写为：

$\int_{0}^{T}x\left ( t \right )\cdot e^{-{{jn\omega _{0}t}}}dt=Ta_{k}$ （8）

$a_{k}=\frac{1}T{}\int_{0}^{T}x\left ( t \right )\cdot e^{-{{jn\omega _{0}t}}}dt$ （9）

（9）我们称之为分析（analysis）公式。

3.连续非周期信号的傅里叶变换：

讨论完周期信号，我们来看非周期的情况，建立这样一个理解：

非周期信号，就是周期信号的 $T_{0}\rightarrow \infty$ 时的情况。

我们定义这样一个式子：

$X(\omega )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )\cdot e^{-{{jn\omega t}}}dt$ (10)

根据式（9）（10），我们发现：

$X(\omega )|_{\omega=k\omega_{0}}=Ta_{k}$ （11）

一些神奇的事情似乎发生了，我们继续下去！

$\tilde{x}(t)=\sum_{k=\infty }^{+\infty} a_{k}e^{^{{jk\omega_{0} t}}}$ (12)

我们带入（11），得到：

$\tilde{x}(t)=\frac{1}{T_{0}}\sum_{k=\infty }^{+\infty} X(\omega )|_{\omega=k\omega_{0}}e^{^{{jk\omega_{0} t}}}$ (13)

$\tilde{x}(t)=\frac{1}{2\pi }\sum_{k=\infty }^{+\infty} X(\omega )|_{\omega=k\omega_{0}}e^{^{{jk\omega_{0} t}}}\cdot \omega _{0}$ (14)

$T_{0}\rightarrow \infty$ 的时候， $\omega _{0}\rightarrow 0$ ，那么 $\tilde{x}(t)\rightarrow x(t)$ 。

让我们用上一点点微积分的知识，把（14）改写成：

${x}(t)=\frac{1}{2\pi }\int X(\omega )e^{^{{j\omega t}}}\cdot d\omega$ (15)

式（10）和（15）称为傅里叶变换对。

4.傅里叶变换和傅里叶级数的关系：

让我们再看一下（8）、（11）：

$X(\omega )|_{\omega=k\omega_{0}}=Ta_{k}=\int_{0}^{T}x\left ( t \right )\cdot e^{-{{jn\omega _{0}t}}}dt$ （16）

这说明了，傅里叶变换是傅里叶级数的包络，傅里叶级数是傅里叶变换的一个周期内的样本

引用祖师爷的原文（核心！核心！核心！！！）：

Fourier series numbers are the samples of the fourier transform of one period.

从（16）我们还发现了什么？

周期信号的傅里叶变换是离散的，非周期信号的傅里叶变换是连续的！