使用广义简约梯度法求解约束优化问题

最新推荐文章于 2025-03-24 19:24:47 发布

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#矩阵 #网络优化 #算法

本文介绍了广义简约梯度法在处理含有非线性约束的优化问题中的应用，通过理论方法阐述了如何用等式约束减少优化变量，并详细解释了算法流程，包括变量分解、广义简约梯度的计算以及收敛性和步长的确定。通过线性约束和非线性约束的算例展示其有效性。

广义简约梯度法是简约梯度法的扩展，用于处理含有非线性约束的有约束优化问题，核心思想是用等式约束来减少优化变量的个数。

理论方法

首先考虑优化问题：
$\begin{aligned} \min \quad f(X)\\ \mathrm{ s.t. } \quad h_j(X)\leq0,&j=1,2,...,m\\ l_k(X)=0,&k=1,2,...,l\\ x_i^l\leq x_i\leq x_i^u,&i=1,2,...,n \end{aligned}$

现对不等式约束增加松弛变量。可以描述为：
$\begin{aligned} \min \quad f(X)\\ \mathrm{ s.t. } \quad h_j(X)+x_{n+j}=0,&j=1,2,...,m\\ h_k(X)=0,&k=1,2,...,l\\ x_i^l\leq x_i\leq x_i^u,&i=1,2,...,n\\ x_{n+j}\geq 0,&j=1,2,...,m \end{aligned}$
再将模型统一简化为：
$\begin{aligned} \min \quad f(X)\\ \mathrm{ s.t. } \quad g_j(X)=0,&j=1,2,...,m+l\\ x_i^l\leq x_i\l$