【2018/10/16】校内模拟赛

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组合数学

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本文深入解析算法竞赛中常见的组合数、环套树森林及主席树应用，通过具体题目讲解预处理组合数、求解逆元、Kruskal算法思想在环套树森林中的运用，以及主席树在字符串比较中的高效实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题一

题二

题三

题一分析

知识的不全面与遗忘

革命尚需努力

组合数常用三个公式：

$\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}$ ------（1）

$\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}$ -------（2）

$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+....+\binom{n}{n}=2^{n}$ -------（3）

预处理组合数

利用杨辉三角形，也就是性质2

	for(int i=0;i<=n;++i) c[i][0]=c[i][i]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<i;++j)
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%P;

求解逆元

由于这道题的模数是1e9+7，是个质数，所以我们可以用费马小定理求解

但要是模数不为质数，且a与mod互质，就可以用扩展欧几里得求解

当然当数据范围在可以承受之内的时候，我们也可以线性求解

更详细的看这里

题二分析

由题可知，每个点的入度只能也必须为 1 ，出度>=0

那这很显然就是一个环套树，当然也可能存在多个环套树

所以我们要求解的就是一个环套树森林

因为要求代价最小，所以我们可以利用类似Kruskal算法的思想，边权最小的边一定是属于最优方案的

就按边权从小到大加边，维护环套树森林

怎么维护环套树森林呢？

如果现在加入的这条边的两个端点：u,v

这两个端点，一个属于树，一个在环里，显然选这条边后，原图仍是一个环

一个属于环，另一个也属于环，显然这条边是不能选的（否则就不满足入度为1了）

一个属于树，另一个在另一个树里，选了过后，仍是一颗树

两个同属一颗树，则现在这棵树会变成一个环

用并查集维护一下当前这一坨是属于树还是环即可

题三分析

没有注意数据范围的提示，每个节点膜拜的长者都是节点号在它之前的啊

又是一道主席树……主席树真是厉害了，感觉无所不能，所向披靡

其实考场上也想过哈希，但不知道为什么居然没有深入进行思考

由于比较的话，1e5长度的串还有1e5个，自然不可能直接搞

所以现在我们的瓶颈就是如何快速比较两个串的大小，由于每次只会修改和膜拜的长者之间的一个字母

这种每次和之前的状态都只有一小部分不同的，我们就可以思考一下主席树

我们就可以想到哈希二分的方法。其实就是不断的询问字符串的某一部分的哈希值。

我们可以用线段树来维护哈希值，那么每次修改一个位置只需要把父亲的线段树改一个位置。就又可以利用主席树来维护，比较的时候也从主席树的两个根开始递归比较，可以做到 O(nlog2n)

还有一点用hash的话最好用unsigned long long，自然溢出。