C. Eugene and an array （详细讲解）

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C. Eugene and an array

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标签

• 难想的暴力。

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简明题意

• D题没啥思路，放弃比赛直接开始写博客哈哈哈哈~
• 给定n长的数组a[]
• （接下来的文章中，我把连续子序列称为子串，大家注意一下哈）
• 题目定义了一个数组什么时候是good的。题目是这样定义的：一个数组b[]，如果它是由a[]数组删掉头部几个元素，再从尾部删掉几个元素得到的，且b[]数组不包含一个和为0的子串，那么b[]是good的。
• 题目定义得很绕。。什么头部删几个，尾部删几个，，这都是误导的信息。实际上就是说，如果一个数组是good的，那么这个数组需要是a[]的一个子串，且这个数组本身不包含和为0的子串。题目中，头部删几个，尾部删几个，我开始还想了半天这是啥…后来才明白其实就是告诉你它是a[]的一个子串。
• 现在要求a[]有多少个子串是good的。

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思路

• 包含a[i]的子串一共有多少个？
• 显然是n个。从a[i]往左边延伸得到i-1个，从a[i]往右延伸是n-i个，加上自己，就是n个。
• 那么我们可以枚举每一个a[i]，求a[i]往左边可以延伸出多少个good的子串，再把对于每个a[i]求得的值加起来即可。
• 下面画一个图，蓝色部分表示我们正在考虑的a[i]。假设红色和棕色标出的区间和为0.相当于现在我们固定了子串的右端点，想要求出有多少个左端点可选，使得这个子串good。
  
• 那么很显然，左端点不可能在$L_3$的前面。那么是不是相当于我们在枚举a[i]的时候要维护，和为0的区间的最大左端点？是的。
• 假设我们维护的这个最大左端点是max_l，那么对于每一个a[i]，我们让ans += i-max_l就好了。
• 嗯…我好像讲完了，就是这么简单，维护就好了。

---------------------------------------分割线-----------------------------------

• 可能难点在于怎么维护。我说说我的思路。我一看到区间和为0，我想到了前缀和，区间$[i,j]$和为0等价于$sum[i-1]=sum[j]$。那么我们可以先前缀和一下，然后考虑每一个a[i]的时候，直接找距离i最近的j且sum[j]=sum[i]。就能找到这个和为0的区间了，然后用这个更新max_l，再用max_l更新答案即可。

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注意事项

• 无

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总结

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AC代码

#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring> 
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>	
#include<set>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;

const int maxn = 2e5 + 10;

long long dp[maxn];

map<long long, int> rec;//维护每个前缀和最近一次出现的位置
void solve()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> dp[i], dp[i] += dp[i - 1];
		rec[dp[i]] = -1;
	}

	long long ans = 0;
	int max_l = -1;
	rec[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (rec[dp[i]] != -1) 
			max_l = max(max_l, rec[dp[i]]);
		rec[dp[i]] = i;
		ans += i - (max_l + 1);//max_l表示前缀和相等的下标，而max_l+1才是实际的区间
	}
	
	cout << ans;
}

int main()
{
	//freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}